Komplexe Zahl mal komplexe Zahl
Anleitung
Basiswissen
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i: neben dieser eher umständlichen Rechenweise in kartesischer Form gibt es auch noch eine einfachere Variante mit der Exponentialform. Beides ist hier kurz vorgestellt.
Vorab
- Am einfachsten geht die Multiplikation über die komplexe Zahl in Exponentialform ↗
- Es ist aber auch möglich für die komplexe Zahl in kartesischer Form ↗
- Hier die Erklärung für alle drei Formen:
Kartesische Form
- Gegeben sind zwei komplexe Zahlen z1 und z2.
- Ihr Produkt z1·z2 hat die Form: (a+bi)(c+di).
- Zwischen den beiden Klammern steht ein gedachtes Malzeichen.
- Solche direkt nebeneinander stehen Klammern heißen Nachbarklammern.
- Wie man sie multipliziert steht unter Klammer mal Klammer ↗
- Das Ergebnis ist immer: ac+adi+bic+bdii.
- (Zwischen den Buchstaben steht immer ein Mal.)
- Jetzt ist es wichtig zu wissen, dass i·i=-1 gibt:
- Jetzt zusammenfassen: ac + (ad+bc)i - bd
- Weiter zusammenfassen: (ac-bd)+(ad+bc)i
- ac-bd ist der Realteil des Ergebnisses.
- ad+bc ist der Imaginärteil des Ergebnisses.
- Man kann als Regel also festhalten:
- (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Exponentialform
- Man hat die komplexe Zahl z1 = r1 mal e hoch (i mal phi1)
- Man hat die komplexe Zahl z2 = r2 mal e hoch (i mal phi2)
- Berechnet werden soll z1 mal z2 in Polarform.
- Man rechnet r1 mal r2 und phi1 plus phi2.
- Ergebnis ist also: r1·r2 mal e hoch (i phi1+phi2).
- Beispiel: 8 mal e hoch (i mal 30 Grad) mal ...
- 4 mal e hoch (i mal 10 Grad) gibt ...
- 32 mal e hoch (i mal 40 Grad).
Polarform
- Man wandelt die Zahlen erst in die Exponentialform um.
- Beispiel: r mal [ cos(phi) + i mal sin(phi)] ...
- gibt r mal e hoch (i mal phi).
- Dann weiter wie oben ...