Interpolation
Mathematik
Basiswissen
Man misst zu zwei Zeitpunkten die Größe eines Baumes und trägt das Ergebnis in Form von zwei Punkten in ein xy-Koordinatensystem ein. Nun kann man annehmen, dass der Baum auch zu jedem Zeitpunkt zwischen den zwei gemessenen Zeitpunkten eine Größe hatte. Vorgegebene Punkte in einem Koordinatensystem so mit einer vermuteten Linie zu verbinden, dass daraus sozuagen plausible Zwischenwerte entstehen ist die Grundidee der Interpolation. Das ist hier kurz vorgestellt.
Der Schiff- oder Flugzeugbau als Beispiel
Der Rumpf eines Schiffes oder eines Flugzeuges hat viele kurvige Linien. Der genau Verlauf der Linien hat einen starken Einfluss auf die Stabilität des Rumpfes sowie auch auf die Aero- und Hydrodynamik (Widerstand, Auftrieb). Vor dem Aufkommen von Computern wurden Schiffe und Flugzeuge als Holzmodelle entwickelt. Die Übertragung der genauen Form vom Holzmodell in die Wirklichkeit war aufwändig. Damit verbundene Fachworte sind zum Beispiel Straklatte, Schnürboden, splines und lofting. Ein Problem war es dann zum Beispiel, einen Teil des Rumpfes von einer weit entfernten anderen Firma anfertigen zu lassen. Wie übermittelt man der anderen Firma die genaue Form? Soll man ein Teil des Holzmodelles schicken? Soll man die Linie mit möglichst vielen Punkten modellieren? Die heute einfachste Lösung ist es, für die gewünschte Linie eine mathematische Kurve, eine Funktionsgleichung zu finden[1]. Eine gute Idee von der kuriven Linienführung eines Schiffes vermittelt die Form von einem Schiffskiel ↗
Was sind die Vorteile ganzrationaler Funktionen?
f(x)=4 ist eine konstante Funktion, f(x)=4x-2 ist eine lineare Funktion, f(x)=0,2x²-0,1x+3 ist eine quadratische Funktion und f(x)=4x³-1x²+0,5x-1 ist eine kubische Funktion: solche ganzrationalen Funktionen werden in der Schulmathematik oft ausführlich behandelt. Ihre typischen Formen und der rechnerische Umgang mit ihnen ist vielen Personen bekannt. Man kann immer versuchen, durch eine bestimmte Anzahl gegebenen Punkte eine ganzrationale Funktion zu legen (siehe unten). Das kann sehr rechenaufwändig werden, wird aber heute meist schnell von Computern erledigt. Einen geeigneten Funktionstyp (konstant, linear, quadatisch, kubisch, quartisch, quintisch etc.) wählt man am besten aus einer Übersicht von Graphen aus. Das Verfahren nennt man Polynominterpolation ↗
Was sind die Nachteile ganzrationaler Funktionen?
Der Nachteil ganzrationaler Funktionen ist, dass ihr Verhalten zwischen den gegebenen Punkten schwer vorhersagbar ist. Sie können dort oft große und ungewollte "Schlenker" nach oben oder unten machen, die der gewünschten geschmeidige Form nicht gut wiedergeben. Eine Lösung dieses Problems gab es seit den 1970er Jahren mit der sogenannten Bezierkurve[1] ↗
Interpolation als Klasse von Problemen
Bei der Interpolation geht es immer darum, zwischen gegebenen Punkten weitere Punkte zu finden, die zwischen den gegebenen Punkten liegen und plausibel sind. Plausibel heißt so viel wie glaubwürdig, passend, überzeugend, denkbar. Was plausibel ist, hängt dann vom Einzelfall ab. Wenn man zwei Punkte der Flugbahn eines fallenden Steines kennt, dann ist es plausibel, dass alle Punkte daziwschen auf einer Geraden durch die zwei bekannten Punkte liegen. Kennt man allerdings zwei Punkte eines schräg nach oben Geschosses, so ist es plausibel, dass die Punkte dazwischen auf einer Parabel oder einer ähnlich gekrümmten Linie liegen. In der Mathematik gesucht ist oft eine Funktionsgleichung, die durch bekannte Punkte geht, in der Schulmathematik ist das oft eine ganzrationale Funktion oder eine Exponentialfunktion: