Gradient eines Skalarfeldes
Definition
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Basiswissen ·
Der Gradient und die partiellen (totale) Ableitung ·
Geometrische Eigenschaften des Gradienten ·
Beispiel Luftdruck ·
Beispiel Hügellandschaft ·
Beispiel Pythagoreischer Auf- oder Flaschenzug ·
Fußnoten
Basiswissen
Ein Skalarfeld ist ein Feld, das jedem Punkt im Raum einen Zahlenwert, ein Skalar, zuordnet. Der Gradient, auch totales Differential oder totale Ableitung genannt, gibt dann für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der größten Änderung pro Strecke an. Der Gradient selbst wird daei als Vektor mit Länge und Richtung dargestellt. Diese Idee eines Gradienten verallgemeinert die Idee der Steigung von Funktionsgraphen in einem xy-Koordinatensystem auf Änderungen in einem zwei-, drei oder höherdimensionalen Raum. Ordnet man jedem Punkt eines Skalarfeldes einen Gradienten zu, entsteht ein Vektorfeld.
Der Gradient und die partiellen (totale) Ableitung
Der Gradient sammelt alle partiellen Ableitungen als Vektor: grad (f(x₁, x₂, . . . , xₙ)) = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂ , . . . , ∂f/∂xₙ). Das heißt die einzelnen partiellen Ableitung werden einfach als Koordinaten eines Vektors geschrieben.
Typische Schreibweise für den Gradienten, etwa mit Vektoren und mit dem sogenannten Nabla-Operator
- Eine weit verbreitete Schreibweise ist mit Hilfe des sog. Nabla-Operators
- ∇ = (∂/∂x₁, ∂/∂x₂ , . . . , ∂/∂xₙ)
- Damit gilt: grad(f) = ∇f.
Mit der Idee eines Gradienten als Vektors ergibt sich eine enge und oft sehr anschauliche Verbindung der Analysis mit der Vektorrechnung. Diese Verbindung bezeichnet man auch als Vektoranalysis ↗
Geometrische Eigenschaften des Gradienten
- Der Gradient zeigt in die Richtung der maximalen Richtungsableitung.
- −grad(f) zeigt in die Richtung der minimalen Ableitung.
- Der Betrag des Gradienten entspricht dem Wert dieser maximalen Richtungsableitung.
- Der Gradient steht senkrecht auf den Niveaulinien.[2]
- Der Gradient verschwindet in Maxima und Minima.[3]
Beispiel Luftdruck
Ein praktisches Beispiel bietet die Meteorologie. Ordnet man jedem Punkt auf einer Landkarte einen Luftdruck zu, hat man zunächst eine Skalarfeld mit dem Luftdruck (z. B. in bar oder Hektopascal) als skalare Größe.
Man sieht wie jedem Punkt eines Skalarfeldes ein Vektor zugeordnet wird.
Nun hängt der Luftdruck eng mit der Windrichtung zusammen: der Wind weht üblicherweise vom höchsten hin zum niedrigsten Luftdruck. Bildet man aus den Skalarfeld der Luftdrücke über den Nabla-Operator ein Vektorfeld, so kann man die Vektoren als Richtung und Stärke des Windes deuten.
Beispiel Hügellandschaft
Man stelle sich die leicht wellige Oberfläche einer sanften Hügellandschaft vor. In der Evolutionsbiologie betrachtet man zum Beispiel die sogenannte Erfolgslandschaft. Für jeden Punkt kann man angeben, in welche Richtung es am steilsten bergauf geht. Und man kann angeben wie groß der Wert der Steigung ist. Beide Angaben kann man in einem Pfeil zusammenfassen. Die Richtung, in die der Pfeil mit seiner Spitze zeigt ist dann die Richtung hin zur größten Steigung. Die Länge des Pfeild gibt den Wert der Steigung an. So kann man für jeden Punkt der Hügellandschaft einen solchen Pfeil darstellen. Jeder einzelne solche Pfeil wäre eine totale Ableitung der ursprünglichen Funktion der Hügellandschaft. Siehe auch zweidimensionale Funktion ↗
Beispiel Pythagoreischer Auf- oder Flaschenzug
Eine einfacher Tischversuch lässt eine direkte, geometrisch-anschauliche Deutung einer zweidimensionalen Funktion sowie speziell der partiellen und totalen Ableitung zu. Es gibt eine etwas einfachere und eine etwas schwierigere Variante:
Fußnoten
- [1] Richard Feynman: Feymnan-Vorlesungen über Physik. Band 2. Elektromagnetismus und Struktur der Materie. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN:978-3-486-58107-2. Dort das Kapitel 2.3 "Ableitungen von Feldern - Der Gradient". Ab Seite 22. Siehe auch Feynman Lectures ↗
- [2] "grad U hat die Richtung der Normalen der jeweiligen durch P gehenden Niveaufläche U=const". In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort im Kapitel "13.2.2.1 Definition des Gradienten". Seite 724.
- [3] "Der Gradient verschwindent (grad U = 0), wenn sich in dem betrachten Feldpunkt ein Maxmum oder Minimum von U befindet." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten". Seite 725.