Basiswissen

Man kann eine Gerade sowohl rein geometrisch als auch algebraisch als einen geometrischen Ort angeben: einmal a) als die Menge aller Punkte, die zu jedem von zwei gegebenen festen Punkten denselben Abstand haben und b) als visualierte Lösungsmenge einer linearen Gleichung wie etwa y+2x=10. Beide Möglichkeiten sind hier kurz vorgestellt.

Rein geometrisch

Man zeichne zwei vielleicht 10 cm voneinander entfernte Punkte A und B irgendwo auf ein Blatt Papier. Dann suche man einen Punkt, der sowohl 20 cm vom ersten wie auch 20 cm vom zweiten Punkt entfernt ist. Man wird zwei Lösungen finden. Dann macht man dasselbe für zum Beispiel 30 cm. Wieder findet man zwei verschiedene Lösungen. Würde man alle Punkte markieren, die denselben Abstand zu A und B haben, hätte man am Ende eine unendlich lange Gerade. Siehe auch geometrischer Ort ↗

Als Gleichung

2x+y=10 ist eine Gerade: als Gleichungen im engeren Sinn bezeichnet man Aussagen mit einem Gleichzeichen und einer oder mehreren Unbekannten. y+2x=10 ist eine solche Gleichung. Sie heißt linear, weil die Unbekannten x und y nur über die Punkt- und Strichrechnung verbunden sind. Jedes Paar von x-y-Zahlenwerten, das die Gleichung aufgehen lässt, heißt Lösung dieser Gleichung. Es gibt unendlich viele Lösungen. Hier einige Lösungen:

x=1 und y=8

x=2 und y=6

x=3 und y=4

x=4 und y=2

x=5 und y=0

Man kann diese Lösungen als Punkte in einem xy-Koordinatensystem auffassen: x=1 und y=8 kann man schreiben als (1|9) und als Punkt in ein Koordinatensystem zeichen. Macht man das für alle Lösungen, entsteht daraus nach und nach einer Gerade. Dies trifft auf alle linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten zu: die Visualisierung der Lösungsmenge ergbibt in einem normalen xy-Koordinatensystem immer eine Gerade.