Definition

Von generalisierten Koordinaten spricht man, wenn man die Anzahl der nötigen Zahlenangaben für eine eindeutige Bezeichnung einer Ortslage möglichst klein machen möchte. Dabei interessant sind Begriffe wie Zwangsbedingung, abhängige und unabhängige Variable, Umkehrfunktion sowei konservatives Kraftfeld. Das ist hier kurz am Beispiel von eine Fadenpendel erklärt.

Das Fadenpendel als Beispiel

Die Idee einer generalisierten Koordinate hängt mit dem Wunsch zusammen, für die Angabe einer Ortslage von einem Objekt möglichst wenige Angaben zu benötigen. Der Gedanke hin zur generalisierten Koordinate lässt sich gut am Beispiel von einem einfachen Fadenpendel entwickeln.

1. Ein Fadenpendel an einer Tafel

Man stelle sich ein Fadenpendel vor, das an einer senkrecht aufgestellten Kreidetafel hin und her schwingt. Auf der Kreidetafel ist ein xy-Koordinatensystem eingezeichnet. Den momentanen Ort der Masse am unteren Ende des Fadenpendels kann man dann für jede Zeit mit einer x- und einer y-Koordinate genau angeben.

2. Abhängige Variablen sind überflüssig

Wenn man nun die Länge des Fadenpendels kennt und diese immer gleich bleibt, und wenn sich auch der Aufhängungspunkt im Koordinatensystem nicht mit der Zeit verändert, dann genügt eigentlich die Angabe der x-Koordinate, um daraus eindeutig die y-Koordinate zu berechnen. Die Formeln sind vielleicht nicht ganz einfach zu finden, aber hier geht es nur darum, dass es an sich möglich wäre. Man könnte die abhängige Variable also durch einen Term mit x ersetzen. Damit könnte man den genauen Ort der Masse durch die bloße Angabe eines x-Wertes genau festlegen. Wenn man aber den Wert y einer Variablen aus dem Wert einer anderen Variablen x berechnen kann, dann ist y eine sogenannte abhängige Variable ↗

3. Vorsicht mit der Umkehrbarkeit

Das Beispiel mit dem Fadenpendel zeigt auch, dass man bei der Wahl einer möglichen abhängigen und einer möglichen unabhängigen Variable, genau die physikalischen und geometrischen Bedingungen im Blick haben muss. Während man aus einer Angabe von x eindeutig auf den dazugehörigen y-Wert schließen kann, gilt die Umkehrung nicht: siehet man einmal vom tiefsten Punkt der Pendelbewegung ab, so gibt es für jeden möglichen y-Wert immer zwei mögliche dazugehörige x-Werte. Der Grund dafür ist, dass die Pendelbewegung symmetrisch zu einer senkrechten Linie durch den Ruhepunkt ist. Die maximale Höhe zum Beispiel hat das Pendel einmal bei einer Bewegung nach links und einmal bei einer Bewegung rechts erreicht. Wenn man also den y-Wert zu uanbhängigen Variable machen würde, wäre die Funktion x=f(y) nicht eindeutig, also gar keine Funktion mehr. Ob man x- und y in ihren Rollen bei Funktionen ohne Verlust der Eindeutigkeit vertauschen kann, wird näher betrachtet im Artikel zur Umkehrfunktion ↗

4. Die Idee einer Zwangsbedingung

In der Physik und Mechanik sind die Begriffe Zwangsbedingung und Freitheitsgrad eng verwandt. Der Faden eines Pendels und die stets nach unten ziehende Wirkung der Erdanziehungskraft zwingen die Pendelmasse auf eine Kreisbahn. Von allen möglichen Punkten des xy-Koordinatensystem hat man der Masse damit eine ganze Reihe von Freiheiten weggenommen. Es kann sich nicht weiter von dem Aufhängspunkt weg bewegen, als die Länge des Fadens es erlaubt. Und die Wirkung der Schwerkraft verbietet es der Pendelmasse, sich näher als die Fadenlänge hin zum Aufhängspunkt zu bewegen. Solche einengenden Zwänge nennt man Zwangsbedingungen. Sie begrenzen die Freiheitsgrade eines Systems. Eine weitere, nicht mehr ganz so offensichtliche Zwangsbedingung ist hier auch noch, dass die Summe aus der potentiellen und der kinetischen Energie stets unverändert, also konstant bleibt.^[2] Je mehr Zwangsbedingungen man kennt und je weniger Freiheitsgrade ein System hat, desto einfacher ist es in der Tendenz eindeutig zu bestimmen.

5. Das φ als generalisierte Koordinate

Nach all diese Vorbetrachtungen kann man jetzt für ein Fadenpendel frage, was denn die bequemste oder einfachte Art sei, um mit möglichst wenigen Angaben, seine Position genau fest zu legen. Eine gute Möglichkeit ist die Angabe des momentanen Winkels φ weg von der Ruhelage des Pendels. Wenn man den Winkel φ kennt, kann man mit (vergleichsweise wenig) Rechenaufwand daraus auch immer die x- und y-Koordinaten berechnen.

Fußnoten

[1] Generalisierte oder auch "verallgemeinerte Koordinaten" sind "ein minimaler Satz voneinander unabhängiger Parameter qⱼ, die die Lage eines physikalischen Systems im Raum vollständig bestimmen." In: Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Dort der Artikel "Verallgemeinerte Koordinaten".

[2] Wenn sich das Pendel abwärts bewegt, wird potentielle in kinetische Energie umwandelt. Wenn es sich aufwärts bewegt, wird kinetische in potentielle Energie umgewandelt. In der Mechanik bezeichnet man die potentielle Energie oft als V und die kinetische Energie als T. Somit schreibt man kurz V+T=konstant. Das ist eine weitere Zwangsbedingung. Sie wird rechnerisch genutzt für die Bestimmung möglicher Bewegungsbahnen von Teilchen nach dem sogenannten Maupertuis-Prinzip ↗