Gebrochener Exponent
wie z. B. hoch 3/2
Basiswissen
Gebrochen heißt hier so viel wie: als Bruch geschrieben. Ein Ausdruck irgendwas-hoch-Bruch hat also einen gebrochenen Exponenten. Gebrochene Exponenten verbinden die Idee der Potenzen mit der Idee der Wurzel.
Vorab
- Bei der Potenz 4 hoch 3/2 gilt:
- Der ganze Ausdruck ist eine Potenz ↗
- Die 4 ist die Basis ↗
- 3/2 ist der Exponent ↗
- Ein gebrochener Exponent meint,
- dass der Exponent ein Bruch ist.
Zwei Wege für Umformungen
Es gibt zwei Arten, wie man Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten weiter berechnen kann. Beide Wege können zum Ziel führen:
- 1. Weg: a hoch m/n = (a hoch m) und daraus die n-te Wurzel
- 2. Weg: a hoch m/n = (n-te Wurzel aus a) und das hoch m
Die Grundidee ist es, dass der Zähler des Bruches (oben) als Exponent der Basis gedeutet wird. Der Nenner (unten) wird als n-te Wurzel gedeutet. 9 hoch 3/2 ist dann also wie 9 hoch 3 (gibt 729) und dann daraus die Wurzel (gibt 27). Man kann auch erst die n-te Wurzel ziehen und dann hochrechnen: 9 und daraus die zweite Wurzel ist 3. Und das hoch 3 gerechnet gibt auch 27.
Zahlenbeispiel
- 4 hoch 3/2
- 1. Weg: Erst 4 hoch 3 ⭢ 64 ⭢ dann Wurzel aus 64 ⭢ 8
- 2. Weg: Erst 2-te Wurzel aus 4 ⭢ 2 ⭢ dann hoch 3 ⭢ 8
- Auf beiden Wegen kommt die richtige Antwort 8 heraus.
Inkonsistenzen
- Dürfte man beliebige reelle Zahlen für a, m und n, ...
- einsetzen dann könnten Widersprüche auftreten.
- Siehe dazu beispielhaft (Minus 4)^(ein halb) ↗
Definitionsbereiche
- Um Inkonsistenzen innerhalb der Mathematik zu vermeiden,
- werden folgende Einschränkungen definiert:
- a darf eine beliebige reelle Zahl sein.
- Ist a<0 muss m ganzzahlig und n ungerade und natürlich sein.
- Ist a=0 muss m ganzzahlig aber nicht 0 sein, n muss natürlich sein.
- Ist a>0 muss m ganzzahlig und n natürlich Zahl sein.
Beispiele
- In der Meteorologie die Internationale Höhenformel ↗
