Grundidee

Tiefsinnige Mathematik ab der Klasse 1? Das geht mit einem einfachen aber tiefgründigen Beispiel aus der Graphentheorie. Je nach Interesse ist das etwas für 5 Minuten oder auch eine ganze Stunde: man zeichnet Punkte an die Tafel. Dann zeichnet man Linien, die in einem Punkt anfangen und irgendwo in einem Punkt auch wieder enden. Dann zählt man die Punkte, die Linien und die so erzeugten Teilflächen. Interessant ist das Ergebnis.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — In diesem Bild hier fiktiv aber an sich realistisch: zwei Grundschüler denken über den Eulerschen Polyedersatz nach. Der Versuch wurde erfolgreich mit Grundschülern ab acht Jahren Lebensalter als längeres Projekt durchgeführt. © Gunter Heim/ChatGPT ☛

Anleitung

Graph zeichnen

Zeichne beliebig viele Punkte auf ein Blatt Papier oder eine Tafel.

Diese Punkten nennt man dann Knoten.

Wenn es mehr als einen Knoten gibt: verbinde die Punkte mit Linien.

Die Linien nennt man Kanten.

Eine Kante muss immer in einem Knoten starten und in einem Knoten aufhören.

Eine Kante darf auch in ihrem Startknoten enden. Das gibt dann eine Schleife.

Eine Kante darf niemals eine andere Kante kreuzen, also durch sie hindurch gehen.

Zischen zwei Knoten dürfen auch mehreren Kanten gezeichnet werden.

Gibt es mehr als zwei Knoten, muss jeder Knoten mindestens zwei Kanten haben.

Die ganze Figur nennt man dann einen Graphen.

Zählen

Zähle für den Graphen die Anzahl von Knoten, Kanten und Flächen.

Der Zeichenhintergrund gilt als eine Fläche.

Jede umrandete Fläche wird dann hinzuaddiert.

Beispiel: ein Dreick hat zwei Flächen: eine innen und eine außen.

Schreibe dann als Ergebnis auf:

E = ______ <- deine Zahl für die Anzahl der Knoten

F = ______ <- deine Zahl für die Anzahl der Flächen

K = ______ <- deine Zahl für die Anzahl der Flächen

Rechnen

Jetzt rechne: Anzahl Knoten plus die Anzahl der Flächen minus die Anzahl der Kanten. Schreibe die Rechnung mit dem Ergebnis an den Graphen dazu. Man kann die Rechnung auch kurz als Formel aufschreiben:

E+F-K = _____ <- das Rechenergebnis

Zeichne jetzt möglichst viele verschiedene Graphen wie oben beschrieben. Du wirst merken, dass du irgendwann gar nicht mehr rechnen musst. Du wirst schon vorher ohne zu rechnen wissen, was herauskommt.

Erkunden

Wenn man sich genau an die Anleitung für das Zeichnen hält, kommt immer dieselbe Zahl heraus. Doch wenn man die Regeln für das Zeichnen etwas lockert, können auch andere Dinge passiert. Was passiert mit dem Rechenwergebnis, wenn …

die Kanten sich auch kreuzen dürfen?

es Knoten mit nur einer Kante geben darf?

man die Knoten dreidimensional im Raum verteilt?

Kann man für diese Fälle wiederum neue Vorhersagen für das Rechenergebnis machen? Dieser Versuch wurde schon im 18. Jahrhundert, vor über 250 Jahren gemacht. Er führte zu sehr tiefsinnigen mathematischen Gedanken.

Fußnoten

[1] Eine ausführliche Beschreibung eines Workshops mit acht Jahre alten Grundschülerinnen zum Eulerschen Polyedersatz findet man in: Joel David Hamkins: Math for eight-year-olds: graph theory for kids! 6. April 2015. Online: https://jdh.hamkins.org/math-for-eight-year-olds/