Erste Ableitung
f'(x)
Definition
Die erste Ableitung hat zwei unterschiedliche - aber zueinander passende - Bedeutungen. Es ist einmal die Ableitungsfunktion. So hat f(x)=x² die erste Ableitung f'(x)=2x. Zum anderen ist die erste Ableitung auch der Zahlenwert der Steigung für einen Punkt eines Graphen. Beide Bedeutungen werden hier gemeinsam vorgestellt.
Formale Definition
- Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
- Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
- Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
- Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.
Schreibweisen
- Es gibt verschiedene Schreibweisen.
- Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
- Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x
Deutung als Steigung
- Man hat einen Punkt auf einem Graphen gegeben.
- Von diesem Punkt nimmt man den => x-Wert
- Setzt man diesen x-Wert in f'(x) ein,
- dann sagt der y-Wert von f'(x),
- welche Steigung f(x) an diesem Punkt hat.
- Beispiel: f(x) = x²
- Ableiten: f'(x) = 2x
- Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
- Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
- Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.
- Mehr unter => Steigung in einem Punkt
Deutung als Änderungsverhältnis
- Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
- Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
- dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
- Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
- Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
- Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
- Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
- den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
- dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.
- Mehr dazu unter => Erste Ableitung als Änderungsverhältnis
Deutung als Änderungsrate
- Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
- Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
- Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
- wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.
- Mehr dazu unter => Änderungsrate
Deutung im Sachzusammenhang
- Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
- Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.
- Mehr dazu unter => Erste Ableitung im Sachzusammenhang
Zahlenbeispiel
- f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
- Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
- dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
- Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.
Monotonie
- Wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) => streng monoton steigend
- Wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) => streng monoton fallend
- Wo f'(x) 0 oder größer ist, ist f(x) => monoton steigend
- Wo f'(x) 0 oder kleiner ist, ist f(x) => monoton fallend
Nullstellen der ersten Ableitung
- Dort wo die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle hat, gibt es für f(x) mehrere Möglichkeiten:
- Dort kann sein ein => Hochpunkt
- Dort kann sein ein => Tiefpunkt
- Dort kann sein ein => Sattelpunkt
- Dort kann sei eine => Konstante Funktion
Besondere Punkte
- Wert der ersten Ableitung => Steigung in einem Punkt
- Erste Ableitung ist Null, möglicher => Hochpunkt
- Erste Ableitung ist Null, möglicher => Tiefpunkt
- Erste Ableitung ist Null, möglicher => Sattelpunkt
