Sattelpunkt


Wendepunkt mit waagrechter Tangente


Basiswissen


Jeder Sattelunkt ist immer auch ein Wendepunkt: an dem Punkt wendet (ändert) sich die Krümmungsrichtung eines Graphen. Gleichzeitig ist die Steigung in dem Punkt immer gleich 0, die Wendetangente verläuft also waagrecht.

Definition


◦ Sattelpunkte SP sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente.
◦ Sattelpunkte gehören nicht zu den Extrempunkten.
◦ Ein übliche Abkürzung ist => SP

Eigenschaften


◦ Die Steigung ist immer Null (per Definition).
◦ Die Richtung der Steigung bleibt aber vor und nach den SP gleich.
◦ Was sich an einem Sattelpunkt ändert ist die Richtung der Krümmung:
◦ Die Krümmung ändert sich von links nach rechts oder umgekehrt.
◦ Jeder Sattelpunkt ist damit immer automatisch auch ein Wendepunkt.
◦ Aber nicht jeder Wendepunkt ist auch ein Sattelpunkt.

Formal


◦ f'(x) = 0
◦ f''(x) = 0
◦ f'''(x) <> 0

Tangente


◦ Die Tangente an einem Sattelpunkt hat immer die Steigung 0.
◦ Der Graph dieser Tangente t(x) ist eine waagrechte Gerade.
◦ Die Tangente schneidet den Graphen f(x) im Sattelpunkt.
◦ Mehr unter => Satteltangente

Berechnung


◦ Notwendig: Erste Ableitung muss Null sein.
◦ Notwendig: Zweite Ableitung muss Null sein.
◦ Notwendig: Dritte Ableitung muss ungleich Null sein.
◦ Hinreichend: alle drei Bedingungen zusammen
◦ Mehr unter => Sattelpunkte bestimmen

Etymologie


◦ Der Name ist in Anlehnung an einen Pferdesattel gegeben.

Synonyme


=> Horizontalwendepunkt
=> Terrassenpunkt
=> Sattelpunkt
=> SP