Ableitung


f'(x)


Definition


Die Ableitung steht einmal für die Steigung (als Zahl) an einem bestimmten Punkt auf einem Funktionsgraphen. Präziser spricht man hier auch vom Ableitungswert. Als Ableitung bezeichnet man auch eine Funktion f'(x), die für jeden x-Wert die dort geltende Steigung am Graphen angibt. Präziser wäre hier: Ableitungsfunktion

Ableitungswert


◦ Die Steigung eines Graphen an einer bestimmten x-Stelle nennt man den Ableitungswert.
◦ Der Graph von f(x)=x² hat an der Stelle x=2 die Steigung 4.
◦ Der Ableitungswert ist also die Zahl 4.
◦ Das ist die => Steigung in einem Punkt

Ableitungsfunktion


◦ Eine Funktion f'(x) nennt man die Ableitungsfunktion.
◦ Setzt man einen x-Wert dort ein, dann ist der Funktionswert die Steigung von f(x) an der eingesetzen x-Stelle.
◦ Beispiel: die Ableitungsfunktion f'(x)=2x gehört zu Funktion f(x)=x².
◦ Setzt man die Zahl 2 in f'(x) ein, erhält man: f'(2)=6.
◦ Für jeden eingesetzten x-Wert erhält man die passende Steigung.
◦ Eine solche Funktion zu finden nennt man oft kurz => ableiten

Beispiele


◦ f(x) ist die eigentliche Funktion, z. B.: f(x) = x²
◦ Man kann von f(x) die sogenannte Ableitungsfunktion bilden:
◦ f(x) = x² gibt die Ableitungsfunktion: f'(x) = 2x
◦ Man kann nun irgendeinen x-Wert in f'(x) einsetzen.
◦ Beispiel f'(3) = 2·3 = 6.
◦ Die Zahl 6 ist der y-Wert von f'(x) bei x = 3.
◦ Der y-Wert von f'(x) ist gleichzeitig die Ableitung von f(x).
◦ Bei x=3 hat die ursprüngliche Funktion f(x) = x² also die Steigung 6.
◦ Mehr unter => Steigung in einem Punkt

Merksatz


◦ Der y-Wert der Ableitung f'(x) ...
◦ ist die Steigung von f(x).

Bestimmung


◦ Zur Bestimmung der Ableitung gibt es mehrere Verfahren:
◦ Am gebräuchlichsten ist die Benutzung der => Ableitungsfunktion
◦ Sehr elementar ist die h-Methode bzw. das => Sekantenverfahren

Synonyme


=> Ableitungsfunktion
=> Erste Ableitung
=> Ableitung

Quellen


◦ [1] Ableitung als Synonym für Ableitungsfunktion: Das Spektrum Lexikon der Mathematik, online, Stand 13. September 2021: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ableitung-einer-funktion/499 => Spektrum Lexikon der Mathematik
◦ [2] Ableitung als Synonym für Ableitungsfunktion: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 446. Siehe auch => Der Bronstein