Ableitung

f'(x)

Definition

Ableitungswert

• Die Steigung eines Graphen an einer bestimmten x-Stelle nennt man den Ableitungswert.
  

• Der Graph von f(x)=x² hat an der Stelle x=2 die Steigung 4.
  

• Der Ableitungswert ist also die Zahl 4.
  

• Das ist die => Steigung in einem Punkt
  

Ableitungsfunktion

• Eine Funktion f'(x) nennt man die Ableitungsfunktion.
  

• Setzt man einen x-Wert dort ein, dann ist der Funktionswert die Steigung von f(x) an der eingesetzen x-Stelle.
  

• Beispiel: die Ableitungsfunktion f'(x)=2x gehört zu Funktion f(x)=x².
  

• Setzt man die Zahl 2 in f'(x) ein, erhält man: f'(2)=6.
  

• Für jeden eingesetzten x-Wert erhält man die passende Steigung.
  

• Eine solche Funktion zu finden nennt man oft kurz => ableiten
  

Zahlenbeispiel für die erste Ableitung

• f(x) ist die eigentliche Funktion, z. B.: f(x) = x²
  

• Man kann von f(x) die sogenannte Ableitungsfunktion bilden:
  

• f(x) = x² gibt die Ableitungsfunktion: f'(x) = 2x
  

• Man kann nun irgendeinen x-Wert in f'(x) einsetzen.
  

• Beispiel f'(3) = 2·3 = 6.
  

• Die Zahl 6 ist der y-Wert von f'(x) bei x = 3.
  

• Der y-Wert von f'(x) ist gleichzeitig die Ableitung von f(x).
  

• Bei x=3 hat die ursprüngliche Funktion f(x) = x² also die Steigung 6.
  

• Mehr unter => Steigung in einem Punkt
  

Anschauliche Deutung der ersten Ableitung

Bestimmung

• Zur Bestimmung der Ableitung gibt es mehrere Verfahren:
  

• Am gebräuchlichsten ist die Benutzung der => Ableitungsfunktion
  

• Sehr elementar ist die h-Methode bzw. das => Sekantenverfahren
  

Quellen

• [1] Ableitung als Synonym für Ableitungsfunktion: Das Spektrum Lexikon der Mathematik, online, Stand 13. September 2021: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ableitung-einer-funktion/499 => Spektrum Lexikon der Mathematik
  

• [2] Ableitung als Synonym für Ableitungsfunktion: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 446. Siehe auch => Der Bronstein