Rhetos Lernlexikon
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Bildbeschreibung und Urheberrecht

Pythagoreischer Aufzug


Einfache Seilmechanik zum Thema erste Ableitung


Basiswissen


Etwa 10 bis 30 Minuten: an einem aufrecht stehenden Brett sind auf gleicher Höhe zwei Nägel A und B eingeschlagen. Der horizontale Abstand b zwischen den beiden Nägeln kann zum Beispiel 20 Zentimeter betragen. Am linken Nagel ist eine kleine Schnur festgebunden.

Versuchsaufbau


Die Schnur kann sich frei um den Nagel A drehen. Sie hängt dann nach unten durch bis zum Punkt O und wird dann wieder nach oben über den Nagel B geführt. Von dort hängt sie senkrecht herab bis zu einem Griff Z. An dem Punkt O befindet sich frei an der Schnur beweglich ein kleines Gewicht. Die Mitte zwischen den Nägeln nennen wir M. Nun fasst man mit der linken Hand O an. In die rechte Hand nimmt man Z. Man zieht mit beiden Händen so, dass die Schnur straff gespannt ist. O soll immer senkrecht unterhalb von M liegen. Die Strecke von M bis O nennen wir y. Das ist hier die abängige Variable. Nun ziehen wir gedanklich so an Z, dass die Schnur horizontal von A nach B läuft. Das ist die gedachte Startposition des Experiments. y hat dann den Wert 0. Die Schnurlänge die wir jetzt gedanklich von Z über B nach oben nachgeben nennen wir x. Z nach oben bewegen heißt also, dass sich x vergrößert und infolgedessen auch y.

Formelmäßige Beziehung


Wenn wir das Dreieck ABO gedanklich in zwei deckungsgleiche und rechtwinklige Dreiecke AMO und BMO zerlegen, dann können wir zunächst x in Abhängigkeit von y berechnen. Über den Satz des Pythagoras gilt:

◦ 2 mal Wurzel aus [(0,5*b)(0,5*b)+y*y)] - b = x
◦ b ist die Länge der Strecke von A nach B.

Umstellen nach y


◦ y = Wurzel aus [[(x+b):2] zum Quadrat -(0,5*b)(0,5*b)]
◦ Und vereinfachen zu:
◦ y = Wurzel aus [(x*x + 2xb):4]

Ableiten


Nun bildet man die erste Ableitung von y nach x:
y' = 0,25*(2x+2b):[Wurzel aus (x*x + 2xb)]]

Anschauliche Deutung von y'


◦ Der Term für y' gibt an, wie viel mal so stark sich y wie x ändert.
◦ Man nimmt einen bestimmten x-Wert an. Der x-Wert sagt, wie tief Z bereits nach unten hängt.
◦ y' gibt für diesen x-Wert an: wie viel mal so stark ändert sich y dort wie x








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