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Quintische Funktion aus Gummibandversuch


Anleitung


Basiswissen


Etwa 10 bis 30 Minuten: der Versuch zeigt zweierlei: wie a) eine ganzrationale Funktion fünften Grades eine Gummibanddehnung modelliert und b) wie die erste Ableitung f'(x) praktisch gedeutet werden kann.

Der Versuch


◦ An einem Haken befestigt hängt ein Gummiband frei senkrecht nach unten.
◦ Am unteren Ende des Gummibandes ist ein kleiner S-Haken befestigt.
◦ An dem Haken hängt ein kleines fast gewichtsloses Säckchen.
◦ In das Säckchen werden schrittweise 50-g Gewichte gelegt.
◦ Für jedes Gesamtgewicht im Sack wurde die Bandlänge gemessen.

Quintische Gleichung aufstellen


◦ Quintisch meint hier: ganzrational vom Grad 5.
◦ Eine Funktionsgleichung, die einigermaßen gut passt ist:
◦ f(x) = -2.46153846153838·10^(-12)·x^5 + 3.29448329448237·10^(-10)·x^4 + 2.38383838383875·10^(-7)·x^3 + 0.000469697·x^2 + 0.0001047397·x + 110.0135198135
◦ f'(x) = 12.307692307692·10^(-12)·x^4 + 13.177933177929·10^(-10)·x^3 + 7.1515151515163·10^(-7)·x^2 + 0.000939394·x + 0.0001047397
◦ Die Gleichung wurde von der Software "LibreOffice Calc" erstellt.
◦ Die erste Ableitung f'(x) wurde dann von Hand erstellt.

Erste Ableitung deuten


◦ Für eine bestimmte Länge f(x) kann der Wert von f'(x) bestimmt werden.
◦ Dieser Wert sagt: ein zusätzliches Gewicht von delta-x Gramm ...
◦ führt dann zu einer zusätzlichen Längenänderung delta-y, ...
◦ die f'(x)-mal-so-groß ist wie delta x.

Legende


◦ x = Das insgesamt angehängte Gewicht in Gramm
◦ f(x) = Die Gesamtlänge des Gummibandes in cm
◦ f'(x) = Die erste Ableitung

Messerergebnisse


SP1 | SP2 | SP3 | SP4 | SP5 | SP6
000 | 110 | 110 | 110 | 110 | 110
050 | 112 | 111 | 111 | 111 | 111
100 | 115 | 114 | 115 | 115 | 115
150 | 122 | 121 | 122 | 122 | 121
200 | 131 | 129 | 132 | 131 | 130
250 | 142 | 139 | 143 | 141 | 142
300 | 153 | 160 | 155 | 156 | 155
350 | 167 | 175 | 167 | 170 | 170
400 | 180 | 191 | 180 | 184 | 184
450 | 192 | 202 | 191 | 195 | 195

Legende


◦ SP1: wie viel Gramm im Sack waren
◦ SP2: welche Gesamtlänge in cm das Band im Versuch am 05. Dezember 2018 hatte
◦ SP3: welche Gesamtlänge in cm das Band im Versuch am 07. Dezember 2018 hatte
◦ SP4: welche Gesamtlänge in cm das Band im Versuch am 12. Dezember 2018 hatte
◦ SP5: durchschnittliche Länge der drei Versuche, gerundet auf Zentimeter
◦ SP6: Näherungswert der Formel (für den Durchschnitt), gerundet auf cm








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