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1: Scheitelpunktform
f(x) = a·(x-d)² + e
Von quadratische Funktionen und Parabeln: aus der Scheitelpunktform y oder f(x) = a·(x²-d)²+e kann man leicht den Scheitelpunkt, die Öffnung und den y-Achsenabschnitt ablesen einer Parabel in einem xy-Koordinatensystem ablesen. Umgekehrt kann man sie leicht aufstellen, wenn man von einer Parabel den Scheitelpunkt SP und irgendeinen weiteren Punkt kennt. Das ist im Folgenden beschrieben.
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2: Scheitelpunktsform
… einer Parabel, meint dasselbe wie => Scheitelpunktform
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3: Scheitelpunktformen
Beispiele
f(x) = a·(x-d)² + e: Die Scheitelpunktform gehört immer zu einer quadratischen Funktion oder Parabelgleichung. Der Graph ist immer eine Parabel. Hier stehen verschiedene Beispiele mit Zahlen für die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform (SPF).
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4: Scheitelpunkt
Mathematik
Bei Funktionsgraphen ist ein Scheitelpunkt (SP) der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Neben dieser Bedeutung gibt es aber auch noch weitere.
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5: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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6: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform ableiten
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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7: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform herleiten
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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8: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform umwandeln
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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9: Allgemeine Form in Scheitelpunktform
f(x) = ax²+bx+c in a·(x-d)²+e
Die allgemeine Form [1] bezieht sich hier auf quadratische Funktionen bzw. Gleichungen. Es gibt verschiedene Verfahren, sie in die Scheitelpunktform umzuwandeln.
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10: Allgemeine Form in Scheitelpunktform über Formel
Anleitung
Eine Funktion der Form f(x) = ax²+bx+c kann man immer umwandeln in die Scheitelpunktform f(x) = a·(x-d)²+e. In der Schulmathematik wird das oft mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) gemacht. Hier ist eine Alternative dazu, die für praktische Zwecke dasselbe Ergebnis liefert.
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11: Allgemeine Form in Scheitelpunktform über QE
Anleitung
Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form f(x)=4x²-24x+32 wird umgeformt in die Scheitelpunktform: f(x)=4·(x-3)²-4. Wie das mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) geht wird hier in kleinen Schritten erklärt.
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12: Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln
… Rechenbeispiel unter => Allgemeine Form in Scheitelpunktform
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13: Allgemeine Scheitelpunkt
… ist a(x-d)²+e, heißt einfach nur => Scheitelpunktform
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14: Drei Punkte Scheitelpunktform
… Erklärung mit Aufgaben => Scheitelpunktform aus drei Punkten
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15: Faktorform in Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
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16: Faktorisierte Form aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in faktorisierte Form
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17: Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
Schritt-für-Schritt
Man hat eine Funktionsgleich in faktorisierter Form FF gegeben: f(x) = a·(x-b)(x-c). Gesucht ist die Scheitelpunktform SPF f(x) = a·(x-d)²+e. Hier wird ein Weg vorgestellt, der immer funktioniert.
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18: Faktorisierte Form in Scheitelpunktform umwandeln
… Rechenbeispiel unter => Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
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19: Normalform aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in Normalform
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20: Normalform in Scheitelpunktform
Umwandlung
Man hat f(x) = x²+px+q gegeben und sucht f(x) = a(x-d)²+e. Hier ist Schritt-für-Schritt erklärt, wie man das mit Hilfe der sogenannten quadratischen Ergänzung umwandelt.
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21: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln
… siehe unter => Normalform in Scheitelpunktform
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22: Normalform umwandeln in Scheitelpunktform
… Umwandlung von quadr. Funktionen, siehe => Normalform in Scheitelpunktform
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23: Parabel Scheitelpunktform
Eine quadratische Funktion für eine Parabel
Zeichnet man für eine quadratische Funktion einen Graphen, so entsteht immer eine Parabel. Zu jeder Parabel kann man eine quadratische Funktionsgleichung aufstellen, die genau diese Parabel beschreibt.
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24: Parabelgleichung Scheitelpunktform
… siehe unter => Scheitelpunktform
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25: Quadratische Ergänzung Scheitelpunktform
… siehe unter => Normalform in Scheitelpunktform
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26: Quadratische Funktion Scheitelpunktform
… siehe unter => Scheitelpunktform
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27: Quadratische Gleichung Scheitelpunktform
… siehe unter => Scheitelpunktform
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28: Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform
Ablesen
f(x) = 4(x-2)²+1 ist die Gleichung einer quadratischen Funktion in der sogenannten Scheitelpunktform. Aus ihr kann man ohne weiteres sofort den Scheitelpunkt (SP) ablesen: SP(2|1). Das ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.
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29: Scheitelpunkt berechnen über Scheitelpunktform
… Verfahrenserklärung unter => Scheitelpunkt über Scheitelpunktform
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30: Scheitelpunkt bestimmen über Scheitelpunktform
… Verfahrenserklärung unter => Scheitelpunkt über Scheitelpunktform
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31: Scheitelpunkt mit Scheitelpunktform
… Verfahrenserklärung unter => Scheitelpunkt über Scheitelpunktform
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32: Scheitelpunkt über Scheitelpunktform
… (x-5)²+4 hat SP (5|Siehe unter => Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform
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33: Scheitelpunktform aufstellen
Methoden
f(x)=a(x-d)²+e nennt man die Scheitelpunktform, kurz SPF, einer quadratischen Funktion oder einer Parabelgleichung. Je nachdem was gegeben ist, kann man eine solche Gleichung aufstellen. Dazu stehen hier verschiedene Methoden.
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34: Scheitelpunktform aufstellen aus drei Punkten
… Erklärung mit Aufgaben => Scheitelpunktform aus drei Punkten
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35: Scheitelpunktform aufstellen aus zwei Punkten
… Erklärung mit Aufgaben => Scheitelpunktform aus zwei Punkten
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