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1: Scheitelpunkt
Mathematik
Bei Funktionsgraphen ist ein Scheitelpunkt (SP) der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Neben dieser Bedeutung gibt es aber auch noch weitere.
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2: Scheitelpunkte
… von Parabeln, siehe unter => Scheitelpunkte von Parabeln
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3: Schnittpunkt
Definition
Ein Schnittpunkt ist ein gemeinsamer Punkt von zwei oder mehr Objekten. Ein Schnittpunkt muss also gleichzeitig zu mindestens zwei Objekten gehören. Objekte können sein: Mengen, Körper, Flächen, Linien, Geraden, Punktemengen etc.
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4: Sattelpunkt
Wendepunkt mit waagrechter Tangente
Jeder Sattelunkt, sehr treffend auch Horizontalwendepunkt genannt, ist immer auch ein Wendepunkt: an dem Punkt wendet (ändert) sich die Krümmungsrichtung eines Graphen. Gleichzeitig ist die Steigung in dem Punkt immer gleich 0, die Wendetangente verläuft also waagrecht. Das ist hier näher erklärt.
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5: Scheitelpunktform
f(x) = a·(x-d)² + e
Von quadratische Funktionen und Parabeln: aus der Scheitelpunktform y oder f(x) = a·(x²-d)²+e kann man leicht den Scheitelpunkt, die Öffnung und den y-Achsenabschnitt ablesen einer Parabel in einem xy-Koordinatensystem ablesen. Umgekehrt kann man sie leicht aufstellen, wenn man von einer Parabel den Scheitelpunkt SP und irgendeinen weiteren Punkt kennt. Das ist im Folgenden beschrieben.
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6: Scheitelpunktsform
… einer Parabel, meint dasselbe wie => Scheitelpunktform
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7: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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8: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform ableiten
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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9: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform herleiten
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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10: Allgemeine Form aus Scheitelpunktform umwandeln
… Erklärung mit Aufgaben unter => Scheitelpunktform in Allgemeine Form
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11: Allgemeine Form in Scheitelpunktform
f(x) = ax²+bx+c in a·(x-d)²+e
Die allgemeine Form [1] bezieht sich hier auf quadratische Funktionen bzw. Gleichungen. Es gibt verschiedene Verfahren, sie in die Scheitelpunktform umzuwandeln.
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12: Allgemeine Form in Scheitelpunktform über Formel
Anleitung
Eine Funktion der Form f(x) = ax²+bx+c kann man immer umwandeln in die Scheitelpunktform f(x) = a·(x-d)²+e. In der Schulmathematik wird das oft mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) gemacht. Hier ist eine Alternative dazu, die für praktische Zwecke dasselbe Ergebnis liefert.
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13: Allgemeine Form in Scheitelpunktform über QE
Anleitung
Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form f(x)=4x²-24x+32 wird umgeformt in die Scheitelpunktform: f(x)=4·(x-3)²-4. Wie das mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (QE) geht wird hier in kleinen Schritten erklärt.
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14: Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln
… Rechenbeispiel unter => Allgemeine Form in Scheitelpunktform
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15: Allgemeine Scheitelpunkt
… ist a(x-d)²+e, heißt einfach nur => Scheitelpunktform
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16: Berechnung Scheitelpunkt
… Es gibt mehrere Verfahren => Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen
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17: Berechnung Scheitelpunkte
… Es gibt mehrere Verfahren => Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen
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18: Bestimmung Scheitelpunkt
… Es gibt mehrere Verfahren => Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen
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19: Drei Punkte Scheitelpunktform
… Erklärung mit Aufgaben => Scheitelpunktform aus drei Punkten
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20: Faktorform in Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
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21: Faktorisierte Form aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in faktorisierte Form
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22: Faktorisierte Form in Scheitelpunkt Form
… Rechenbeispiel unter => Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
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23: Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
Schritt-für-Schritt
Man hat eine Funktionsgleich in faktorisierter Form FF gegeben: f(x) = a·(x-b)(x-c). Gesucht ist die Scheitelpunktform SPF f(x) = a·(x-d)²+e. Hier wird ein Weg vorgestellt, der immer funktioniert.
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24: Faktorisierte Form in Scheitelpunktform umwandeln
… Rechenbeispiel unter => Faktorisierte Form in Scheitelpunktform
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25: Normalform aus Scheitelpunktform
… Rechenbeispiel unter => Scheitelpunktform in Normalform
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26: Normalform in Scheitelpunktform
Umwandlung
Man hat f(x) = x²+px+q gegeben und sucht f(x) = a(x-d)²+e. Hier ist Schritt-für-Schritt erklärt, wie man das mit Hilfe der sogenannten quadratischen Ergänzung umwandelt.
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27: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln
… siehe unter => Normalform in Scheitelpunktform
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28: Normalform umwandeln in Scheitelpunktform
… Umwandlung von quadr. Funktionen, siehe => Normalform in Scheitelpunktform
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29: Parabel Scheitelpunktform
Eine quadratische Funktion für eine Parabel
Zeichnet man für eine quadratische Funktion einen Graphen, so entsteht immer eine Parabel. Zu jeder Parabel kann man eine quadratische Funktionsgleichung aufstellen, die genau diese Parabel beschreibt.
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30: Parabelgleichung Scheitelpunktform
… siehe unter => Scheitelpunktform
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31: Parabelscheitelpunkt
Höchster oder tiefster Punkt
Der Graph einer quadratischen Funktion, zum Beispiel f(x)=x²-8x+15 hat immer einen höchsten oder einen tiefsten Punkt. Diesen Punkt nennt man den Scheitelpunkt der Parabel. Im Beispiel liegt er bei (4|-1). Bei anderen Graphen spricht man nicht von einem Scheitelpunkt. Lies mehr unter
=> Scheitelpunkt einer Parabel
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32: Parabelscheitelpunkt aus Allgemeiner Form
… f(x)=Ax²+Bx+C => Scheitelpunkt aus allgemeiner Form
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33: Parabelscheitelpunkt aus allgemeiner Form bestimmen
… f(x)=Ax²+Bx+C => Scheitelpunkt aus allgemeiner Form
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34: Parabelscheitelpunkt aus Ax^2+Bx+C
… f(x)=Ax²+Bx+C => Scheitelpunkt aus allgemeiner Form
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35: Parabelscheitelpunkt berechnen
… alle Verfahren unter => Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen
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