Definition

Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen, wenn ihr Inhalt gleich der Zahl n ist. Der Inhalt ist die Summer aller ihrer Teiler abzüglich der Zahl selbst. Die kleinste vollkommene Zahl ist 28, denn ihre Teiler sind: 1, 2, 4, 7, und 14. Für den Inhalt rechnet man alle Teiler zusammen (außer der 28) und erhält: 1+2+4+7+14=28. Damit ist der Inhalt gleich der Zahl selbst. Im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen gibt es noch offene Forschungsfragen der Mathematik.

Die ersten 10 vollkommenen Zahlen

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

2658455991569831744654692615953842176

191561942608236107294793378084303638130997321548169216

Kuriosa

Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und stehen in bijektiver Beziehung zu Mersenne-Primzahlen (Primzahlen der Form 2p−1)

Es ist nicht bekannt, ob es eine ungerade vollkommene Zahl gibt.

Stand heute sind nur 51 Mersenne-Primzahlen bekannt ⇒ nur 51 vollkommene Zahlen sind bekannt.

Ob es unendlich viele gibt, ist offen. Ungerade vollkommene Zahlen sind bis heute nicht gefunden.

Ab etwa der 10.–12. vollkommenen Zahl werden die Zahlen extrem groß. Schon die 51. vollkommene Zahl hat über 49 Millionen Dezimalstellen.

Fußnoten

[1] "Wenn alle Teiler einer Zahl zusammengezählt werden, nennt man dies die Teilersumme." Als Beispiel wird für die Zahl 12 die Teilersumme 28 angegeben. Die Abkürzung für die Teilersumme sei das kleine griechische Sigma. In: In: Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 7.