Umgekehrt proportionale Funktion ableiten


Beispiel


Basiswissen


f(x) = 40/x oder f(x) = 1/x sind beides Beispiele für eine proportionale Funktion. Sie können nicht direkt über die Potenzregel abgeleitet werden, sie müssen vorher so umgeformt werden, dass das x im Zähler (oben) steht. Das ist hier kurz erklärt.

f(x) = 60/(4x)


Lösungsidee: das x durch eine Äquivalenzumformung vom Nenner (unten) in den Zähler bringen: um es in den Zähler, also nach oben, zu kriegen, denkt man es sich als eine "Hoch minus"-Potenz. Aus dem Funktionsterm oben wird dann 60/4·x^(-1) oder noch kürzer: 15·x^(-1). Diesen Term kann man jetzt einfach über die Potenz- und Produktregel für Ableitungen weiter ableiten. Der Term wird dann zu: -15x^(-2). Mehr zu dieser Umformung unter => eins durch x

f(x) = 5/(3x+4)


Bei diesem Typ kann man das x alleine nicht leicht durch eine der einachen Potenzgesetze von unten nach oben bringen. Das geht aber für die ganze Klammer. Der Funktionsterm wird dann zu 5·(3x+4)^(-1). Das Hoch-minus-Eins bezieht sich dabei nur auf die Klammer, nicht auf die Fünf. Die Klammer kann man jetzt mit Hilfe der Kettenregel für Ableitungen ableiten. Der ganze Term wird zu 5·(-3)·(3x+4)^(-2) oder kurz zu -15(3x+4)^(-2).

Legende


◦ ^ = Hochzeichen, 2^4 wäre zum Beispiel 16.
◦ Mehr dazu unter => Caret