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Stoßzahl (Stoßgesetze)

Physik

© 2025


Definition｜ Physikalisch｜ Formeln｜ Über Geschwindigkeiten｜ Über Höhen｜ Beispielwerte｜ Ballistisches Pendel｜ Fußnoten


Definition


k=(v₂'-v₁')/(v₂-v₁) ist die Formel zur Berechnung der sogenannte Stoßzahl k oder ε für einen Stoß im Sinne der Physik. Andere Bezeichnungen sind Restitutionskoeffizient oder kurz auch COR. [1] [2] Die Stoßzahl gibt an, wie groß der elastische Anteil bei dem Stoß war. Die Werte liegen zwischen 0 und 1, je größer desto elastischer. Der Quotient gibt gibt an, wie groß das Verhältnis des Unterschieds der Geschwindigkeiten nach dem Stoß gegenüber dem Unterschied der Geschwindigkeiten vor dem Stoß ist.

Physikalisch


Da jeder realistische Stoß immer einer Mischform eines elastischen und eines unelastischen Stoßes ist, liefert die Berücksichtigung der Stoßzahl in den Rechengesetzen verbesserte Werte. Die Bezeichnung Restitutionskoeffizient, übersetzt so viel wie Zahl der Wiederherstellung, gibt an, wie stark der Geschwindigkeitsunterschied nach dem Stoß den Geschwindigkeitsunterschied vor dem Stoß wiedergibt.

Beim elastischen Stoß ist ε = 1, beim vollständig unelastischen Stoß ε = 0. [3]

Die Werte sind zum Beispiel für die Gestaltung von Sportgeräten interessant. Für Golfbälle ist der Wert sogar geregelt, um Fairness beim Spiel zu garantieren. [2] In der Robotik ist der Wert wichtig, sodass Roboter in etwa das Verhalten von Objekten vorhersagen können.

Ist der Stoß nicht vollständig elastisch, geht beim Stoß kinetische Energie verloren. Die interessante Frage ist dann, in welche Form von Energie die ehemalige Bewegungsenergie umgewandelt wird.

"Die Energie kann während des Aufpralls im Ball durch innere Reibung dissipiert werden oder durch eine bleibende Verformung des Balls oder der Oberfläche verloren gehen. Alternativ kann Energie durch die Kompression im Ball gespeichert und nach dem Rückprall entweder durch innere Schwingungen oder durch eine langsame Rückkehr des Balls in seine ursprüngliche Form dissipiert werden." [8]

Für die Bestimmung der Stoßzahl jedoch kann man die Frage nach der Art der Energieumwandlungen vernachlässigen. Hier genügt es, die Zustände nach dem Stoß mit den Zuständen vor dem Stoß zu vergleichen. Als Zustände genügen oft vergleichsweise licht zu messende Geschwindigkeiten oder - noch einfacher - Höhen.

Formeln


Über Geschwindigkeiten


Die Formel gibt das Verhältnis des Geschwindigkeitsunterschiedes nach dem Zusammenstoß zum Geschwindigkeitsunterschied vor dem Zusammenstoß von zwei Körpern an. [3] [5] Für solche Messungen verwendet man zum Beispiel Hochgeschwindigkeitskameras. [7]

Formel

  • k=(v₂'-v₁')/(v₂-v₁)

Mit

  • k = die Stoßzahl, der Restitutionskoeffizient, auch ε
  • v₂' = Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß
  • v₁' = Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß
  • v₂ = Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoß
  • v₁ = Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoß

Über Höhen


Prallt ein Ball ohne Reibungsverluste von einer festen Oberfläche zurück, so kann die Stoßzahl auch über eine Messung der Höhen vor und nach dem Aufprall bestimmt werden. [7] Dabei muss man von einem festen Boden ausgehen.

Formel

  • k = v₂/v₁
  • √(h₂/h₁)

Mit

  • k = die Stoßzahl, der Restitutionskoeffizient, auch ε
  • v₂ = Geschwindigkeit der Kugel direkt nach dem Aufprall
  • v₁ = Geschwindigkeit der Kugel direkt vor dem Aufprall
  • h₂ = Fallhöhe der Kugel vor dem Aufprall
  • h₁ = Sprunghöhe der Kugel nach dem Aufprall

Beispiel

Große Gymnastikbälle erreichen oft verblüffend hohe Stoßzahlen. In einem ersten Pilotversuch am 20. Dezember 2025 wurde zunächst die Rückprallhöhe eines solchen Balles [10] nach einem Aufprall auf den Holzboden eines Gyms grob abgeschätzt.



Fast 70 % seiner anfänglichen Höhe erreichte der Gymnastikball im Film. Das ist ein recht hoher Wert für Sportbälle.

Das Verhältnis, mathematisch der Quotient von Rückprall- zu Anfangshöhe lag bei rund 0,7. Die Wurzel daraus ist etwa 0,84. Damit liegt die Stoßzahl des hier verwendeten Gymnastikballs in Verbindung mit dem Holzboden bei etwa 0,84.

Beispielwerte


Die Stoßzahl ändert sich stark mit den beteiligten Materialien. Sie hängt ferner auch ab von den Geschwindigkeiten beim Aufprall, der Temperatur und der Beschaffenheit der Oberfläche [8]. Grobe Werte für eine erst Orientierung sind:

  • Tennisball-Schläger: 0,70 [1]
  • Golfball-Golfschläger: 0,83 [2]
  • Tischtennisball: 0,87 bis 0,92 [12]

Ballistisches Pendel


Bei einem ballistischen Pendel wird ein Geschoss, etwa eine Kanonenkugel, auf einen als Pendel aufgehängten Körper geschossen. Aus der anschließenden Auslenkung des Pendels kann man auf die anfängliche Geschwindigkeit des Geschosses schließen.



Ohne Berücksichtigung der Stoßzahl k ergeben die Formeln der Stoßgesetze (Impulserhaltung) und der Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie (und umgekehrt) keine gute Vorhersage der Ausschlaghöhe des Pendels als Funktion der Anrollhöhe der Stahlkugel. Berücksichtigt man aber die Stoßzahl k, wird die Übereinstimmung zwischen theoretischer Rechnung und praktischer Messung deutlich besser. © Sebastian Schieferdecker

Bei Versuchen in einer Lernwerkstatt war der Stoß eine deutlich erkennbare Mischung aus elastischen und unelastischen Anteilen. Erst die Berücksichtigung der Stoßzahl brachte akzeptable Vorhersagen durch die Stoßgesetze. Siehe auch 👉 ballistisches Pendel

Fußnoten


  • [1] Die Bezeichnungen Restitutionskoeffizient, COR (coefficient of restitution) oder kurz e findet man zum Beispiel in: die Erklärseite "Restitutionskoeffizient" der Firma Stanford Advanced Materials aus Santa Ana (Kalifornien), USA. Bearbeitungsstand vom 24. Juli 2025. Online: https://www.samaterials.de/content/coefficient-of-restitution.html
  • [2] "Ein „perfekter“ Aufprall hätte einen COR von 1. Aufgrund der physikalischen Gesetze ist dies jedoch aufgrund der unvermeidlichen Energieverluste unerreichbar. Unabhängig vom technisch Machbaren schreiben die Regelbehörden USGA und R & A eine COR-Leistungsbeschränkung von 0,830 vor. Damit wird sichergestellt, dass alle Schlägerhersteller mit der gleichen maximalen Höchstgrenze arbeiten." In: der Artikel "Coefficient of Restitution (COR)" des Herstellers von Golfausrüstungen "Titleist" aus Massachusetts, USA. Stand 27. November 2025. Online: https://www.titleist.de/company/contact
  • [4] Die Stoßzahl kann auch durch einen Aufprallversuch eines Balles über die Änderung der Geschwindigkeit berechnet werden: "Normally, a drop test impact experiment involves measurement of kinematic data; this includes measurement of incident and rebound velocity in order to calculate a coefficient of restitution (COR)." In: Haron, Adli, and K. A. Ismail. 2012. Coefficient of restitution of sports balls: A normal drop test. United Kingdom. Online: https://doi.org/10.1088/1757-899X/36/1/012038
  • [5] Die Stoßzahl kann auch durch einen Zusammenprall von zwei Kugeln bestimmt werden: "Der COR wird gemessen, indem die relativen Geschwindigkeiten zweier Objekte vor und nach einem Zusammenstoß verglichen werden." In: die Erklärseite "Restitutionskoeffizient" der Firma Stanford Advanced Materials aus Santa Ana (Kalifornien), USA. Bearbeitungsstand vom 24. Juli 2025. Online: https://www.samaterials.de/content/coefficient-of-restitution.html
  • [7] Die Berechnung über die Fallhöhen: "The collision of a ball always involves some loss of energy. For example, if a ball of mass m is dropped from a height h₁ onto a surface and it rebounds to a height h₂ , then the loss of energy is mg(h₁-h₂). The energy loss can be expressed in terms of the coefficient of restitution, e, defined in the case of a rigid surface by e = v₂/v₁ = √(h₂/h₁), where v₁ is the incident speed of the ball and v₂ is the rebound". In: Rod Cross: The bounce of a ball" (PDF). Physics Department, University of Sydney, Australia. 2006. Online: https://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/BallBounce.pdf
  • [8] Die physikalischen Eigenschaften des Bodens beinflussen die Sprünghöhe aufgeprallter Bälle. Die Kalibrierung des Bodens wäre eine Lösung, aber sie wäre aufwändig. Eine alternative Lösung ist ein einfacher Pendelaufbau. Eine praktische Anleitung zur Messung für Croquet-Bälle unter Verwendung eines Pendels findet man in: Ian Plummer: Ball Bounce Testing. Stand vom 8. April 2025. Online: http://www.oxfordcroquet.com/tech/bounce/index.asp
  • [9] Beim Zusammenprall sind verschiedene Formen eines Verlusts von Energie denkbar: "the energy may be dissipated in the ball during the collision as a result of internal friction, or energy may be lost as a result of a permanent deformation of the ball or the surface. Alternatively, energy may be stored in the ball as a result of its compression and subsequently dissipated after the rebound either in internal modes of oscillation or by a slow recovery of the ball to its original shape." In: Rod Cross: The bounce of a ball" (PDF). Physics Department, University of Sydney, Australia. 2006. Online: https://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/BallBounce.pdf
  • [10] Der Gymnastikball mit der Aufschrift "ARTZT Xvitality", hergestellt im Jahr 2019 (Ballaufschrift) stammt vom Hersteller Artzt, wahrscheinlich 75 cm Durchmesser. Auf der Webseite des Herstellers heißt zu seinen Gymnastikbällen: Der ARTZT thepro Gymnastikball ist ein original Pezziball Made in Italy. […] Das verwendete Material, flexton silpower, ist ein patentiertes, elastisches Material […] Es besteht aus einer Mischung aus hochwertigen PVC-Verbindungen und elastischen Polymeren, die für hohe Widerstandsfähigkeit, Haltbarkeit und Elastizität sorgen. Ein besonderes Merkmal von Flexton Silpower ist seine ABS-Eigenschaft (Anti-Burst System), die bei Beschädigung des Balls ein langsames Entweichen der Luft ermöglicht, um Verletzungsrisiken zu minimieren." Abgerufen von der Webseite der Firma Artzt aus Dornburg nahe Limburg an der Lahn. 21. Dezember 2025.
  • [11] Der Wert von 0,84 für die Stoßzahl des Gymnastikballs der Firma ARTZT wurde am 20. Dezember 2025 in einem eigenen grob durchgeführten Pilotversuch abgeschätzt.
  • [12] Der zulässige Bereich für die Stoßzahl eines Tischtennisball kann über die erlaubte Rückprallhöhe berechnet werden: "Both speed and spin of a ball are affected by the resilience of the playing surface and other properties that together define the bounce. This is measured by dropping an approved ball of average bounce on to the table; from a height of 300 mm, measured between the playing surface and the bottom of the ball, the ball must rebound to a height of 230-260 mm. A table will not be approved unless the bounce is legal and uniform over the entire playing surface." In: "The International Table Tennis Federation (ITTF): Technical Leaflet T1: The Table. Lausanne (Schweiz). Fassung aus dem Jahr 2013. Siehe auch 👉 Tischtennisball


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