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Stetig und differenzierbar


Mathematik


Definition


Das Begriffspaar stetig und differenzierbar gehört zu Funktionen, insbesondere wenn man auch ihre Graphen betrachtet. Eine Funktion ist überall dort stetig, wo sie keine Lücken oder Sprünge im Graphen hat. Sie ist zusätzlich noch differenzierbar, wenn sie dort keinen Knick im Graphen hat. Das ist hier kurz vorgestellt.

Stetig


Stetig heißt, dass der Graph einer Funktion keine Lücken und auch keine Sprünge hat. Lücken sind oft sogenannte Definitionslücken, wie etwa x=0 für die Funktion f(x)=1/x. Sprünge entstehen, wenn der y-Wert sich sprunghaft ändert. Das klassische Beispiel dafür sind Treppenfunktionen. Siehe auch Stetigkeit ↗

Differenzierbar


An einer Stelle, an der eine Funktion stetig ist, kann sie auch differenzierbar sein, muss es aber nicht. Differenzierbar heißt so viel wie ableitbar, man kann dann also eindeutig den Wert der ersten Ableitung bestimmen. Optisch ist das gleichbedeutend damit, dass der Graph dort keinen Knick hat. Einen Knick hat zum Beispiel die überall stetige Betragsfunktion f(x)=|x|. Mathematisch wird differenzierbar darüber definiert, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert für die erste Ableitung gleich sind. Siehe mehr im Artikel Differenzierbarkeit ↗