Steigungswinkel und erste Ableitung
Anschaulich
Basiswissen
In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln
Definitonsbereich
- Das Folgende gilt nur differenzierbare Punkt von Funktionsgraphen.
- Anschaulich sind das nur solche Punkte auf einem Funktionsgraphen, ...
- die keine Eckpunkt, keine Lücke oder kein Sprung im Graph sind
- Der Steigungswinkel und die Ableitung gehören immer zu einem Punkt.
- Wir betrachten einen Punkt P auf dem Graphen von f(x).
Tangente
- Man geht auf einen beliebigen differenzierbaren Punkt P des Graphen von f(x).
- Für jeden solchen Punkt P gibt es nur genau eine passende Tangente t(x).
- Die Tangente t(x) ist die Gerade, die an P dieselbe Steigung hat wie der f(x).
- Siehe auch Tangentengleichung ↗
Steigungswinkel
- Für die Tangente t(x) zeichnet man ein passendes Steigungsdreieck ↗
- Der Winkel links unten im Steigungsdreieck ist der Steigungswinkel ↗
Erste Ableitung
- Man bildet von f(x) die erste Ableitung f'(x).
- Man setzt den x-Wert von P dort ein und erhält den y-Wert der ersten Ableitung.
- Der y-Wert der ersten Ableitung ist identisch mit der Steigung an dieser Stelle P.
- Die Steigung an P ist diesselbe für f(x) und t(x).
- Man hat also auch die Steigung von t(x).
- Siehe auch erste Ableitung ↗
Steigungsdreieck
- Links unten im Steigungsdreieck ist der Winkel α.
- Das Steigungsdreieck hat eine waagrechte Seite ∆x.
- Das Steigungsdreieck hat immer eine senkrechte Seite ∆y.
- Die Steigung als Zahl sagt immer: wieviel mal so lang ist ∆y wie ∆x.
- Anders gesagt: in welchem Verhältnis steht ∆y zu ∆x, oder kurz: ∆y/∆x
- Siehe auch Steigungsdreieck ↗
Tangens
- Das Verhältnis ∆y/∆x ist als Zahlenwert also gleich der Steigung.
- Das Verhältnis ∆y/∆x ist dasselbe wie die Gegenkathete durch die Ankathete von α.
- Dieses Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete ist kurz der Tangens von α.
- Damit gilt: Die Steigung ist als Zahlenwert dasselbe wie Tangens α.
- Siehe auch Tangenstabelle Grad ↗
Arkustangens
- Man kann also zusammenfassen:
- Wert der ersten Ableitung = Tangens vom Steigungswinkel α
- Um α zu bestimmen wendet man die Umkehrfunktion an ("tangens rückwärts).
- Die Umkehrfunktion vom Tangens heißt Arkustangens, auf einem Taschenrechner oft tan⁻¹.
- Siehe auch Arkustangens ↗
Zahlenbeispiel
- Man hat f(x)=x².
- Man betrachtet den Punkt (4|16).
- Man bildet die erste Ableitung f'(x)=2x.
- Man setzt den x-Wert von P ein: f'(4)=8.
- Die Steigung bei P(4|16) ist also 8.
- Davon der Arkustangens ist etwa 83°
- Der Steigungswinkel α ist etwa 83°
- Siehe auch Steigungswinkel ↗