Spatprodukt berechnen

Vektorrechnung

Basiswissen

Grundidee der Berechnung

• Man hat drei Vektoren gegeben.
  

• Man berechnet das Kreuzprodukt der ersten zwei Vektoren.
  

• Das Ergebnis des Kreuzproduktes ist wieder ein Vektor.
  

• Dann berechnet man das Skalarprodukt von diesem Zwischenergebnis mit dem dritten Vektor.
  

• Das Ergebnis dieses Skalarproduktes ist eine Zahl.
  

• Diese Zahl als Rechenergebnis ist das Spatprodukt ↗
  

Rechenbeispiel

• Man betrachte drei Vektoren:
  

• a = (10|0|0)
  

• b = (0|4|0)
  

• c = (0|0|8)
  

• Die Vektoren spannen einen Quader auf.
  

• Ein Quader ist ein gerader Spat ↗
  

• Er hat ein Volumen von 320 Volumeneinheiten.
  

Lösungsidee

• Spatprodukt = (a×b)·c
  

• axb ist das Kreuzprodukt ↗
  

• Das Er×gebnis des Kreuzproduktes ist ein Vektor.
  

• Dieser Vektor wird skalar mit c multipliziert Skalarprodukt ↗
  

• Das Ergebnis ist das Spatprodukt, es muss das Volumen von 320 VE ergeben.
  

• Das heißt: Der Betrag des Spatroduktes muss 320 ergeben.
  

Rechnung

• a×b über Kreuzprodukt berechnen ↗
  

• a×b = (0|0|40)
  

• Das Zwischenergebnis mit dem dritten Vektor skalar multiplizieren:
  

• (0|0|40)·(0|0|8) = 320
  

• Das korrekte Spatprodukt ist also: 320
  

Was bedeutet der Betrag des Spatprodukts?

• Das Spatprodukt von drei Vektoren kann eine negative und auch eine positive Zahl sein.
  

• Der Betrag steht für das Volumen des Spats, das aus den drei Vektoren aufgespannt wird.
  

• Das Vorzeichen des Ergebnisses gibt an, ob die drei Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden.
  

• Lies mehr zur Bedeutung des Spatproduktes im Artikel Spatprodukt ↗