Rotationskörpervolumen berechnen
V = π·∫[f(x)]²·dx
Basiswissen
Lässt man die Kurve (Graphen) einer Funktion f(x) einmal um die x-Achse kreisen (rotieren), dann entsteht durch diese Bewegung die Hülle eines Körper. Das Volumen des Körper kann mit Hilfe der Funktionsgleichung f(x) berechnet werden. Das ist hier kurz erklärt.
Formel
- V = π·∫[f(x)]²·dx
Legende
- V = Volumen des Rotationskörper[s]
- π = Etwa 3,14, die Kreiszahl ↗
- ∫ = das Integralzeichen ↗
- · = ein übliches Malzeichen ↗
- ² = Quadrierung oder hoch zwei ↗
- dx = ein Differential ↗
Rechenbeispiel
- Man hat zum Beispiel die Funktion: f(x) = 3x
- Das Volumen des Rotationskörpers von x=1 bis x=2 soll berechnet werden.
- 1. Schritt: [f(x)]² - also den Funktionsterm hoch zwei rechnen, das gibt hier: 9x²
- 2. Schritt: diesen quadrierten Term aufleiten (Stammfunktion bilden), hier: ⅓·9·x³ = 3x³
- 3. Rechte Integrationsgrenze eingesetzt minus linke Integrationsgrenze eingesetzt: 3·3³-3·1³ = 80
- 4. Ergebnis notieren: das Volumen von Zwischen den x-Werten 1 und 3 beträgt: 80 Volumeneinheiten. ✔
