Parabelgleichung aus zwei Punkten


Anleitung


Basiswissen


Man sucht eine Parabelgleichung, auch quadratische Funktion genannt, deren Graph durch zwei gegebene Punkte geht. Hier stehen eine Anleitung und Aufgaben dazu.

Was meint Parabelgleichung?


◦ Parabel meint den Graphen einer quadratischen Funktion.
◦ Parabelgleichung meint dann die Funktionsgleichung.
◦ Zum Beispiel in Scheitelpunktform: f(x)=a(x-d)²+e
◦ Zum Beispiel in Allgemeiner Form: f(x)=ax²+bx+c

3. Fälle


Je nachdem, wie die Punkte liegen und was man noch über sie weiß, kann die Aufgaben unlösbar sein (Fall 1), genau eine Lösung haben (Fall 2) oder unendlich viele Lösungen haben (Fall 3). Diese Fälle werden jetzt behandelt.

Fall 1: Punkte liegen senkrecht übereinander


Mit anderen Worten: die beiden Punkte haben die gleichen x-Werte. In diesem Fall gibt es keine Parabel durch die zwei Punkte. Die Aufgabe ist nicht lösbar.

Fall 2: ein Punkt ist der Scheitelpunkt


◦ Wenn man weiß, dass einer der Punkte auch der SP ist, ist die Lösung sehr leicht.
◦ Man nimmt die Scheitelpunktform: y=a·(x-d)²+e
◦ Das d ist der x-Wert vom Scheitelpunkt.
◦ Das e ist der y-Wert vom Scheitelpunkt.
◦ Angenommen man hat die Punkte (2|1) und (4|9).
◦ Und man weiß, dass (2|1) der Scheitelpunkt ist.
◦ Dann ist die Zahl 2 das d und die 1 ist das 1.
◦ Dann kann man sofort einsetzen: y=a·(x-2)²+1
◦ Das a ist noch unbekannt. Man findet es über den zweiten Punkt:
◦ Man setzt vom zweiten Punkt die Werte für x und y ein.
◦ Das gibt dann im Beispiel: 9=a·(4-2)²+1
◦ Jetzt nach a auflösen: a = 2,
◦ Am Ende die Zahlen für a, d und e einsetzen:
◦ Die Lösung ist dann: y = 2·(x-2)²+1
◦ Eine ausführliche Anleitung steht auf einer anderen Seite.
◦ Siehe dazu => Scheitelpunktform aus zwei Punkten

Fall 3: Es gibt zwei Punkte, die nicht übereinander liegen


Man hat zwei Punkte, sie liegen nicht übereinander und man weiß nicht, ob oder welcher der Punkte der Scheitelpunkt ist. Nun gibt es unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. Das kann man sich leicht klarmachen, indem man Parabeln gedanklich staucht oder streckt und dabei verschiebt. Um mindestens eine Parabelgleichung durch die zwei Punkte zu finden, kann man (immer) so vorgehen: Schreibe die allgemeine Form der Parabelgleichung auf: y = ax² + bx + c. Wähle für a irgendeinen beliebigen Wert und setze ihn als Zahl in die Gleichung ein. Nun erstellen wir mit diesem a-Wert zwei weitere Gleichungen, indem wir einmal den ersten, dann den zweiten Punkt einsetzen. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten b und c. Man kann es zum Beispiel mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen. Am Ende schreibt man die Parabelgleichung mit den Zahlenwerten für a, b und c hin. x und y bleiben als Buchstaben in der Gleichung stehen.