Basiswissen

Eine Matrix M heißt orthogonal, wenn sie quadratisch ist (gleich viele Spalten wie Zeilen) und wenn zusätzlich gilt: ihr Mᵀ·M=E sowie M·Mᵀ=E. Dabei ist M die Matrix, Mᵀ die dazu transponierte Matrix, E die Einheitsmatrix. Die Inverse einer orthogonalen Matix ist gleich ihrer Inversen.^[1] Eine orthogonale Matrix erhält das Standardskalarprodukt. Das heißt, dass das Skalarprodukt von zwei Vektoren durch eine Multiplikation mit der Matrix nicht verändret wird.^[2]

Eigenschaften

Ist immer eine quadratische Matrix ↗

Produkt mit ihrer transponierten Matrix gibt immer die Einheitsmatrix ↗

Hat immer +1 oder -1 als Wert für ihre Determinante ↗

Jede orthogonale Matrix ist immer auch eine unimodulare Matrix ↗

Sie ist unimodular mit zusätzlich der Bedingung: M·Mᵀ = E

Fußnoten

[1] "Eine reelle und quadratische Matrix A wird orthogonal genannt, wenn AᵀA = AAᵀ = 1 gilt. Aus dieser Bedingung kann man leicht ableiten, dass auch Aᵀ=A⁻¹ erfüllt ist." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[2] "Eine orthogonale Abbildung stellt […] sicher, das Skalarprodukte und somit auch Winkel und Längen sowie Wahrscheinlichkeiten erhalten bleiben. [2]