Normalengleichung aufstellen
Analysis
Basiswissen
Eine Normale n(x) ist eine Gerade, die in einem bestimmten Punkt P eines anderen Graphen f(x) dort senkrecht auf dem Graphen von f(x) steht. Die Berechnung ähnelt der einer Tangentengleichung. Es gibt nur eine Stelle, an der man anders vorgeht. Das wird hier vorgestellt.
Was ist eine "Normale" allgemein?
- Eine Gerade, die senkrecht auf etwas anderem steht, nennt man eine Normale.
- "Senkrecht auf" meint "mit einem 90-Grad-Winkel.
- Normalen gibt es für Funktionsgraphen, 2D-Figuren und 3D-Körper.
Was ist für die Normalengleichung gesucht?
- Hier geht es um Funktionsgraphen f(x) in einem x-y-Koordinatensystem.
- Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von f(x) steht.
- Die Normalengleichung heißt oft n(x).
- Die Form der gesuchten Gleichung ist: n(x) = mx+b
- Das m ist die Normalensteigung [von n(x)] ↗
- Das b ist der y-Achsenabschnitt ↗
Beispielrechnung für die Normalengleichung
- Gegeben ist eine Funktion f(x)=x².
- Es geht um den Punkt mit der x-Koordinaten x=2.
- Gesucht ist die Gleichung der Normalen bei x=2.
1. Steigung der Normalen
- Berechnet wird die Steigung, meistens abgekürzt als m:
- Die Normale n(x) steht senkrecht auf der Tangenten t(x) von f(x).
- Die Tangentensteigung für t(x) kriegt man über erste Ableitung von f(x).
- Erste Ableitung ist f'(x) = 2x
- x=2 in f'(x) einsetzen gibt f'(2) gibt die Tangentensteigung 4.
- Wenn diese Steigung kein Bruch ist, denkt man sie sich als Bruch.
- 4 ist als Bruch gedacht 4 Eintel oder 4/1. Siehe auch Einteln ↗
- Von dieser Steigung als Bruch gedachten Steitung bildet man den Kehrbruch ↗
- Das ist hier im Beispiel 1/4.
- Dann vom Kehrbruch das Vorzeichen wechseln, das gäbe hier: -1/4
- Eventuell den Bruch noch als Dezimalzahl schreiben, gäbe hier: -0,25
- Das ist die Steigung der Normalen.
2. Punkt auf der Normalen
- x-Wert eines Punktes der Normalen ist mit 2 gegeben.
- y-Wert kriegt man über Einsetzen von x in Parabelgleichung.
- y-Wert des Schnittpunktes ist 4.
- Punkt ist also: (2|4)
3. y-Achsenabschnitt berechnen
- Berechnet wird das b:
- Punkt (2|4) und m=-0,25 in y=mx+b einsetzen und nach b auflösen
- 4 = -0,25·2 + b oder umgeformt: b=4
- Geradengleichung hinschreiben:
- n(x) = -0.25x + 4,5
4. Antwort
Die Gerade mit der Gleichung n(x) = -0,25x + 4,5 beschreibt eine Normale, die bei x=2 senkrecht auf der gegebenen Normalparabel steht.
Was ist eine ähnliche Rechnung?
Die Rechenwege zum Aufstellen einer Normalengleichung und einer Tangentengleichung sind bis auf eine kleinen Unterschied bei der Berechnung der Steigung gleich. Bei der Tangentengleichung nimmt man die Steigung der Tangente unverändert, bei der Normalengleichung bildet man von dieser Steigung noch den negativen Kehrwert. Siehe auch Tangentengleichung aufstellen ↗
