Mersenne-Zahl
Zahlentheorie
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Basiswissen
Die Zahlen Mk = (2 hoch k)-1 heißen Mersenne-Zahlen. Mk kann nur dann eine Primzahl sein, wenn k eine Primzahl ist. K muss dabei eine natürliche Zahl sein. Ist eine Mersenne-Zahl gleichzeitig auch eine Primzahl, heißt sie Mersenne-Primzahl.
Beispiele
- Links der Exponent k von 1 bis 69
- Rechts die dazugehörige Mersenne-Zahl 2 hoch k -1
- 1: 1
- 2: 3
- 3: 7
- 4: 15
- 5: 31
- 6: 63
- 7: 127
- 8: 255
- 9: 511
- 10: 1023
- 11: 2047
- 12: 4095
- 13: 8191
- 14: 16383
- 15: 32767
- 16: 65535
- 17: 131071
- 18: 262143
- 19: 524287
- 20: 1048575
- 21: 2097151
- 22: 4194303
- 23: 8388607
- 24: 16777215
- 25: 33554431
- 26: 67108863
- 27: 134217727
- 28: 268435455
- 29: 536870911
- 30: 1073741823
- 31: 2147483647
- 32: 4294967295
- 33: 8589934591
- 34: 17179869183
- 35: 34359738367
- 36: 68719476735
- 37: 137438953471
- 38: 274877906943
- 39: 549755813887
- 40: 1099511627775
- 41: 2199023255551
- 42: 4398046511103
- 43: 8796093022207
- 44: 17592186044415
- 45: 35184372088831
- 46: 70368744177663
- 47: 140737488355327
- 48: 281474976710655
- 49: 562949953421311
- 50: 1125899906842623
- 51: 2251799813685247
- 52: 4503599627370495
- 53: 9007199254740991
- 54: 18014398509481983
- 55: 36028797018963967
- 56: 72057594037927935
- 57: 144115188075855871
- 58: 288230376151711743
- 59: 576460752303423487
- 60: 1152921504606846975
- 61: 2305843009213693951
- 62: 4611686018427387903
- 63: 9223372036854775807
- 64: 18446744073709551615
- 65: 36893488147419103231
- 66: 73786976294838206463
Kuriositäten
- Eine Mersenne-Zahl, die gleichzeitig auch eine Primzahl ist, heißt Mersenne-Primzahl.
- Jede bekannte Mersenne-Primzahl ist auch eine 👉 vollkommene Zahl
- Bis 2026 waren nur 52 solche Mersenne-Primzahlen bekannt.
- Jede Mersenne-Zahl besteht als Binärzahl nur aus Einsen.
- Im Dualsystem hat eine Mersenne genau k Einsen.
Mathematik als Forschung
Mersenne-Primzahlen zu entdecken ist nicht einfach. In der Geschichte der Mathematik dauerte das oft Jahrzehnte bis Jahrhunderte. Heute geht es etwas schneller voran:
- 2009: die 47. bekannte Mersenne-Primzahl M42 643 801 wird vom GIMPS-Projekt am 12. April entdeckt und am 12. Juni veröffentlicht.
- 2013: die 48. bekannte Mersenne-Primzahl M57 885 161 wird vom GIMPS-Projekt am 25. Januar entdeckt.
- 2016: die 49. bekannte Mersenne-Primzahl M74 207 281 wird vom GIMPS-Projekt am 7. Januar entdeckt.
- 2017: die 50. bekannte Mersenne-Primzahl M77 232 917 wird vom GIMPS-Projekt am 26. Dezember entdeckt.
- 2018: die 51. bekannte Mersenne-Primzahl M82 589 933 wird vom GIMPS-Projekt am 7. Dezember entdeckt.
- 2024: die 52. bekannte Mersenne-Primzahl M136 279 841 wird vom GIMPS-Projekt am 12. Oktober entdeckt.