Leibniz-Reihe
Mathematik
Basiswissen
Die sogenannte Leibniz-Reihe ist eine Näherungsformel zur Berechnung der Kreiszahl Pi. Die Reihe war indischen Mathematikern bereits im 14ten Jahrhundert bekannt[1] und wurde von dem Schotten Gregory und Leibniz für Westeuropa wiederentdeckt.
Die Leibniz-Reihe als Formel
- Pi = 4·Σ(-1)ᵏ/(2k+1)
Die Leibniz-Reihe in Worten
Das Vierfache der Summe (Σ) der mit Null beginnenden k ersten Quotienten aus der Zahl -1 hoch k und einem mehr als dem Doppelten von k
Die Leibniz-Reihe Schritt für Schritt
Man setzt für k der Reihe nach alle ganzen Zahlen mit 0 beginnend aufwärts in den Berechnungsterm ein: Man rechnet zuerst die Zahl -1 hoch k. Dann dividiert man das Ergebnis durch das Doppelte von k erhöhte um 1. Diese Rechnung führt man für möglichst viele k-Wert aufsteigend von 0 Richtung unendlich durch. Man addiert dann alle berechneten Quotienten (Brüche). Diese Summe nimmt man dann noch mal vier. Das Endergebnis gibt dann eine Näherung für die Kreiszahl Pi. Andere Näherungsverfahren für Pi stehen unter Pi-Generator ↗
Rechentipps
- Hoch Null gibt in der Formel ober immer 1 hoch Null ↗
- -1 hoch eine gerade Zahl gibt immer 1.
- -1 hoch eine ungerade Zahl gibt immer -1.
- Siehe auch minus eins hoch ↗
- Das Σ ist das Summenzeichen ↗
Was heißt alternierend?
Alternierend heißt, dass sich positive und negative Zahlen ständig abwechseln. Das trifft auf die Quotienten zu. Ein Quotient wird addiert, der folgende subtrahier und der darauffolgende wiederum addiert. Solche alternierenden Ausdrücke kann man über den Term -1 hoch k erreichen, wenn für k aufeinanderfolgende ganzen Zahlen eingesetzt werden. Siehe auch alternierend ↗
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Die 1000 ersten Rechenergebnisse[2]
Hier stehen die Annäherungen für die ersten 1000 Werte für k, beginnen mit k=0. Man erkennt, sie quälend langsam sich die Näherungswerte dem wahren Wert annähern. Nach 1000 Rechnungen ist erst die die zweite Nachkommastelle korrekt. Die Werte wurden stichprobenartig mit einer ähnlichen Darstellung auf Wikipedia[3] abgeglichen. Solche Rechnungen sind überhaupt erst seit der Entwicklung elektronischer Rechenmaschinen möglich. Das kleine n in der Liste steht für den letzten k-Wert, der berechnet wurde:
n=0 gibt Pi ≈ 4.00000000000000000000 ✓
n=1 gibt Pi ≈ 2.66666666666666666668 ✓
n=2 gibt Pi ≈ 3.46666666666666666668 ✓
n=3 gibt Pi ≈ 2.89523809523809523812 ✓
n=4 gibt Pi ≈ 3.33968253968253968256 ✓
n=5 gibt Pi ≈ 2.97604617604617604620 ✓
n=6 gibt Pi ≈ 3.28373848373848373848 ✓
n=7 gibt Pi ≈ 3.01707181707181707184 ✓
n=8 gibt Pi ≈ 3.25236593471887589536 ✓
n=9 gibt Pi ≈ 3.04183961892940221116 ✓
n=10 gibt Pi ≈ 3.23231580940559268732 ✓
n=11 gibt Pi ≈ 3.05840276592733181776 ✓
n=12 gibt Pi ≈ 3.21840276592733181776 ✓
n=13 gibt Pi ≈ 3.07025461777918366964 ✓
n=14 gibt Pi ≈ 3.20818565226194229032 ✓
n=15 gibt Pi ≈ 3.07915339419742616132 ✓
n=16 gibt Pi ≈ 3.20036551540954737344 ✓
n=17 gibt Pi ≈ 3.08607980112383308776 ✓
n=18 gibt Pi ≈ 3.19418790923194119584 ✓
n=19 gibt Pi ≈ 3.09162380666783863176 ✓
n=20 gibt Pi ≈ 3.18918478227759472932 ✓
n=21 gibt Pi ≈ 3.09616152646364124096 ✓
n=22 gibt Pi ≈ 3.18505041535253012984 ✓
n=23 gibt Pi ≈ 3.09994403237380672560 ✓
n=24 gibt Pi ≈ 3.18157668543503121536 ✓
n=25 gibt Pi ≈ 3.10314531288601160752 ✓
n=26 gibt Pi ≈ 3.17861701099921915468 ✓
n=27 gibt Pi ≈ 3.10588973827194642744 ✓
n=28 gibt Pi ≈ 3.17606517686843765548 ✓
n=29 gibt Pi ≈ 3.10826856669894613008 ✓
n=30 gibt Pi ≈ 3.17384233719074940876 ✓
n=31 gibt Pi ≈ 3.11035027369868591672 ✓
n=32 gibt Pi ≈ 3.17188873523714745516 ✓
n=33 gibt Pi ≈ 3.11218724269983402236 ✓
n=34 gibt Pi ≈ 3.17015825719258764552 ✓
n=35 gibt Pi ≈ 3.11382022902357356104 ✓
n=36 gibt Pi ≈ 3.16861474957151876648 ✓
n=37 gibt Pi ≈ 3.11528141623818543316 ✓
n=38 gibt Pi ≈ 3.16722946818623738120 ✓
n=39 gibt Pi ≈ 3.11659655679383231792 ✓
n=40 gibt Pi ≈ 3.16597927284321503396 ✓
n=41 gibt Pi ≈ 3.11778650175887768460 ✓
n=42 gibt Pi ≈ 3.16484532528828944928 ✓
n=43 gibt Pi ≈ 3.11886831379403657572 ✓
n=44 gibt Pi ≈ 3.16381213401875567684 ✓
n=45 gibt Pi ≈ 3.11985609006271172080 ✓
n=46 gibt Pi ≈ 3.16286684275088376380 ✓
n=47 gibt Pi ≈ 3.12076157959298902696 ✓
n=48 gibt Pi ≈ 3.16199869299505088260 ✓
n=49 gibt Pi ≈ 3.12159465259101047856 ✓
n=50 gibt Pi ≈ 3.16119861298705008252 ✓
n=51 gibt Pi ≈ 3.12236366153073940292 ✓
n=52 gibt Pi ≈ 3.16045889962597749812 ✓
n=53 gibt Pi ≈ 3.12307572205588404020 ✓
n=54 gibt Pi ≈ 3.15977296976230605852 ✓
n=55 gibt Pi ≈ 3.12373693372627002252 ✓
n=56 gibt Pi ≈ 3.15913516381476559772 ✓
n=57 gibt Pi ≈ 3.12435255511911342384 ✓
n=58 gibt Pi ≈ 3.15854058930714761184 ✓
n=59 gibt Pi ≈ 3.12492714392899635136 ✓
n=60 gibt Pi ≈ 3.15798499516866577284 ✓
n=61 gibt Pi ≈ 3.12546466996541374032 ✓
n=62 gibt Pi ≈ 3.15746466996541374032 ✓
n=63 gibt Pi ≈ 3.12596860697328775608 ✓
n=64 gibt Pi ≈ 3.15697635891127225220 ✓
n=65 gibt Pi ≈ 3.12644200776623408428 ✓
n=66 gibt Pi ≈ 3.15651719573615889628 ✓
n=67 gibt Pi ≈ 3.12688756610652926668 ✓
n=68 gibt Pi ≈ 3.15608464639850006956 ✓
n=69 gibt Pi ≈ 3.12730766798123388252 ✓
n=70 gibt Pi ≈ 3.15567646230747501724 ✓
n=71 gibt Pi ≈ 3.12770443433544704524 ✓
n=72 gibt Pi ≈ 3.15529064123199876936 ✓
n=73 gibt Pi ≈ 3.12807975687825727280 ✓
n=74 gibt Pi ≈ 3.15492539446214989024 ✓
n=75 gibt Pi ≈ 3.12843532823698432736 ✓
n=76 gibt Pi ≈ 3.15457911908665752996 ✓
n=77 gibt Pi ≈ 3.12877266747375430416 ✓
n=78 gibt Pi ≈ 3.15425037448012373088 ✓
n=79 gibt Pi ≈ 3.12909314177572121516 ✓
n=80 gibt Pi ≈ 3.15393786227261562508 ✓
n=81 gibt Pi ≈ 3.12939798497200212816 ✓
n=82 gibt Pi ≈ 3.15364040921442637056 ✓
n=83 gibt Pi ≈ 3.12968831340604313704 ✓
n=84 gibt Pi ≈ 3.15335695245929757488 ✓
n=85 gibt Pi ≈ 3.12996513959380049888 ✓
n=86 gibt Pi ≈ 3.15308652687703749308 ✓
n=87 gibt Pi ≈ 3.13022938401989463596 ✓
n=88 gibt Pi ≈ 3.15282825407639181108 ✓
n=89 gibt Pi ≈ 3.13048188536130801220 ✓
n=90 gibt Pi ≈ 3.15258133287512016688 ✓
n=91 gibt Pi ≈ 3.13072340937785240732 ✓
n=92 gibt Pi ≈ 3.15234503099947402892 ✓
n=93 gibt Pi ≈ 3.13095465666792322680 ✓
n=94 gibt Pi ≈ 3.15211867783194439080 ✓
n=95 gibt Pi ≈ 3.13117626945498104004 ✓
n=96 gibt Pi ≈ 3.15190165805601730944 ✓
n=97 gibt Pi ≈ 3.13138883754319679664 ✓
n=98 gibt Pi ≈ 3.15169340607111557836 ✓
n=99 gibt Pi ≈ 3.13159290355855276432 ✓
n=100 gibt Pi ≈ 3.15149340107099057524 ✓
n=101 gibt Pi ≈ 3.13178896757345362944 ✓
n=102 gibt Pi ≈ 3.15130116269540484892 ✓
n=103 gibt Pi ≈ 3.13197749119782030788 ✓
n=104 gibt Pi ≈ 3.15111624717868155188 ✓
n=105 gibt Pi ≈ 3.13215890120711757084 ✓
n=106 gibt Pi ≈ 3.15093824393012226564 ✓
n=107 gibt Pi ≈ 3.13233359276733156800 ✓
n=108 gibt Pi ≈ 3.15076677249083387212 ✓
n=109 gibt Pi ≈ 3.13250193230818547032 ✓
n=110 gibt Pi ≈ 3.15060147981949768748 ✓
n=111 gibt Pi ≈ 3.13266426008855598348 ✓
n=112 gibt Pi ≈ 3.15044203786633376124 ✓
n=113 gibt Pi ≈ 3.13282089249188442204 ✓
n=114 gibt Pi ≈ 3.15028814140018136524 ✓
n=115 gibt Pi ≈ 3.13297212408416404924 ✓
n=116 gibt Pi ≈ 3.15013950605841297624 ✓
n=117 gibt Pi ≈ 3.13311822946266829540 ✓
n=118 gibt Pi ≈ 3.14999586659346998316 ✓
n=119 gibt Pi ≈ 3.13325946491982981580 ✓
n=120 gibt Pi ≈ 3.14985697529327379920 ✓
n=121 gibt Pi ≈ 3.13339606994347956052 ✓
n=122 gibt Pi ≈ 3.14972260055572445844 ✓
n=123 gibt Pi ≈ 3.13352826857191879044 ✓
n=124 gibt Pi ≈ 3.14959252560003124020 ✓
n=125 gibt Pi ≈ 3.13365627061995155896 ✓
n=126 gibt Pi ≈ 3.14946654729979345616 ✓
n=127 gibt Pi ≈ 3.13378027278998953460 ✓
n=128 gibt Pi ≈ 3.14934447512461988476 ✓
n=129 gibt Pi ≈ 3.13390045968060444076 ✓
n=130 gibt Pi ≈ 3.14922613017868873192 ✓
n=131 gibt Pi ≈ 3.13401700470340356084 ✓
n=132 gibt Pi ≈ 3.14911134432604507024 ✓
n=133 gibt Pi ≈ 3.13413007091780536988 ✓
n=134 gibt Pi ≈ 3.14899995939364180108 ✓
n=135 gibt Pi ≈ 3.13423981179216578632 ✓
n=136 gibt Pi ≈ 3.14889182644418043832 ✓
n=137 gibt Pi ≈ 3.13434637189872589288 ✓
n=138 gibt Pi ≈ 3.14878680511172228276 ✓
n=139 gibt Pi ≈ 3.13444988754899826844 ✓
n=140 gibt Pi ≈ 3.14868476299383812608 ✓
n=141 gibt Pi ≈ 3.13455048737546356780 ✓
n=142 gibt Pi ≈ 3.14858557509476181340 ✓
n=143 gibt Pi ≈ 3.13464829286479665664 ✓
n=144 gibt Pi ≈ 3.14848912331462364624 ✓
n=145 gibt Pi ≈ 3.13474341884726969436 ✓
n=146 gibt Pi ≈ 3.14839529598037549640 ✓
n=147 gibt Pi ≈ 3.13483597394647719132 ✓
n=148 gibt Pi ≈ 3.14830398741449065932 ✓
n=149 gibt Pi ≈ 3.13492606099308597708 ✓
n=150 gibt Pi ≈ 3.14821509753793647540 ✓
n=151 gibt Pi ≈ 3.13501377740592327408 ✓
n=152 gibt Pi ≈ 3.14812853150428392980 ✓
n=153 gibt Pi ≈ 3.13509921554337187772 ✓
n=154 gibt Pi ≈ 3.14804419936214210424 ✓
n=155 gibt Pi ≈ 3.13518246302773695956 ✓
n=156 gibt Pi ≈ 3.14796201574339191160 ✓
n=157 gibt Pi ≈ 3.13526360304497921320 ✓
n=158 gibt Pi ≈ 3.14788189957494766744 ✓
n=159 gibt Pi ≈ 3.13534271462196961104 ✓
n=160 gibt Pi ≈ 3.14780377381200076368 ✓
n=161 gibt Pi ≈ 3.13541987288320819404 ✓
n=162 gibt Pi ≈ 3.14772756519090050172 ✓
n=163 gibt Pi ≈ 3.13549514928875982896 ✓
n=164 gibt Pi ≈ 3.14765320400000602956 ✓
n=165 gibt Pi ≈ 3.13556861185499092384 ✓
n=166 gibt Pi ≈ 3.14758062386700293584 ✓
n=167 gibt Pi ≈ 3.13564032535954024928 ✓
n=168 gibt Pi ≈ 3.14750976156132066468 ✓
n=169 gibt Pi ≈ 3.13571035153182213964 ✓
n=170 gibt Pi ≈ 3.14744055681041451500 ✓
n=171 gibt Pi ≈ 3.13577874923023958792 ✓
n=172 gibt Pi ≈ 3.14737295212879031252 ✓
n=173 gibt Pi ≈ 3.13584557460717647968 ✓
n=174 gibt Pi ≈ 3.14730689265875241088 ✓
n=175 gibt Pi ≈ 3.13591088126274101488 ✓
n=176 gibt Pi ≈ 3.14724232602194781372 ✓
n=177 gibt Pi ≈ 3.13597472038814499684 ✓
n=178 gibt Pi ≈ 3.14717920218086208364 ✓
n=179 gibt Pi ≈ 3.13603714089952503632 ✓
n=180 gibt Pi ≈ 3.14711747330949733548 ✓
n=181 gibt Pi ≈ 3.13609818956294086168 ✓
n=182 gibt Pi ≈ 3.14705709367252990276 ✓
n=183 gibt Pi ≈ 3.13615791111122200088 ✓
n=184 gibt Pi ≈ 3.14699801951230601172 ✓
n=185 gibt Pi ≈ 3.13621634835327636216 ✓
n=186 gibt Pi ≈ 3.14694020894308869456 ✓
n=187 gibt Pi ≈ 3.13627354227642202792 ✓
n=188 gibt Pi ≈ 3.14688362185201884488 ✓
n=189 gibt Pi ≈ 3.13632953214225631192 ✓
n=190 gibt Pi ≈ 3.14682821980629830664 ✓
n=191 gibt Pi ≈ 3.13638435557653329360 ✓
n=192 gibt Pi ≈ 3.14677396596614368320 ✓
n=193 gibt Pi ≈ 3.13643804865348218452 ✓
n=194 gibt Pi ≈ 3.14672082500309658040 ✓
n=195 gibt Pi ≈ 3.13649064597496358808 ✓
n=196 gibt Pi ≈ 3.14666876302330964404 ✓
n=197 gibt Pi ≈ 3.13654218074482863140 ✓
n=198 gibt Pi ≈ 3.14661774749545835432 ✓
n=199 gibt Pi ≈ 3.13659268483881675032 ✓
n=200 gibt Pi ≈ 3.14656774718295640116 ✓
n=201 gibt Pi ≈ 3.13664218887030131432 ✓
n=202 gibt Pi ≈ 3.14651873208017785752 ✓
n=203 gibt Pi ≈ 3.13669072225216802952 ✓
n=204 gibt Pi ≈ 3.14647067335241252828 ✓
n=205 gibt Pi ≈ 3.13673831325508892732 ✓
n=206 gibt Pi ≈ 3.14642354327930200236 ✓
n=207 gibt Pi ≈ 3.13678498906243453252 ✓
n=208 gibt Pi ≈ 3.14637731520152326152 ✓
n=209 gibt Pi ≈ 3.13683077582204832120 ✓
n=210 gibt Pi ≈ 3.14633196347050437820 ✓
n=211 gibt Pi ≈ 3.13687569869509066664 ✓
n=212 gibt Pi ≈ 3.14628746340097301956 ✓
n=213 gibt Pi ≈ 3.13691978190214397976 ✓
n=214 gibt Pi ≈ 3.14624379122615330376 ✓
n=215 gibt Pi ≈ 3.13696304876675655204 ✓
n=216 gibt Pi ≈ 3.14620092405544015480 ✓
n=217 gibt Pi ≈ 3.13700552175658958012 ✓
n=218 gibt Pi ≈ 3.14615883983439278376 ✓
n=219 gibt Pi ≈ 3.13704722252231989084 ✓
n=220 gibt Pi ≈ 3.14611751730690038968 ✓
n=221 gibt Pi ≈ 3.13708817193443989308 ✓
n=222 gibt Pi ≈ 3.14607693597938371328 ✓
n=223 gibt Pi ≈ 3.13712839011808617416 ✓
n=224 gibt Pi ≈ 3.14603707608690577324 ✓
n=225 gibt Pi ≈ 3.13716789648601885528 ✓
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n=940 gibt Pi ≈ 3.14265535254586972260 ✓
n=941 gibt Pi ≈ 3.14053108276360737532 ✓
n=942 gibt Pi ≈ 3.14265309867872673868 ✓
n=943 gibt Pi ≈ 3.14053333185307756012 ✓
n=944 gibt Pi ≈ 3.14265085435175410852 ✓
n=945 gibt Pi ≈ 3.14053557143266368020 ✓
n=946 gibt Pi ≈ 3.14264861950450731464 ✓
n=947 gibt Pi ≈ 3.14053780156255480808 ✓
n=948 gibt Pi ≈ 3.14264639407705138160 ✓
n=949 gibt Pi ≈ 3.14054002230243316152 ✓
n=950 gibt Pi ≈ 3.14264417800995551816 ✓
n=951 gibt Pi ≈ 3.14054223371147942780 ✓
n=952 gibt Pi ≈ 3.14264197124428782672 ✓
n=953 gibt Pi ≈ 3.14054443584837802076 ✓
n=954 gibt Pi ≈ 3.14263977372161007940 ✓
n=955 gibt Pi ≈ 3.14054662877132227200 ✓
n=956 gibt Pi ≈ 3.14263758538397255948 ✓
n=957 gibt Pi ≈ 3.14054881253801955688 ✓
n=958 gibt Pi ≈ 3.14263540617390896740 ✓
n=959 gibt Pi ≈ 3.14055098720569635668 ✓
n=960 gibt Pi ≈ 3.14263323603443139048 ✓
n=961 gibt Pi ≈ 3.14055315283110325736 ✓
n=962 gibt Pi ≈ 3.14263107490902533528 ✓
n=963 gibt Pi ≈ 3.14055530947051988640 ✓
n=964 gibt Pi ≈ 3.14262892274164482156 ✓
n=965 gibt Pi ≈ 3.14055745717975978792 ✓
n=966 gibt Pi ≈ 3.14262677947670753752 ✓
n=967 gibt Pi ≈ 3.14055959601417523780 ✓
n=968 gibt Pi ≈ 3.14262464505909005452 ✓
n=969 gibt Pi ≈ 3.14056172602866199884 ✓
n=970 gibt Pi ≈ 3.14262251943412310136 ✓
n=971 gibt Pi ≈ 3.14056384727766401748 ✓
n=972 gibt Pi ≈ 3.14262040254758689664 ✓
n=973 gibt Pi ≈ 3.14056595981517806256 ✓
n=974 gibt Pi ≈ 3.14261829434570653868 ✓
n=975 gibt Pi ≈ 3.14056806369475830704 ✓
n=976 gibt Pi ≈ 3.14261619477514745192 ✓
n=977 gibt Pi ≈ 3.14057015896952085348 ✓
n=978 gibt Pi ≈ 3.14261410378301088924 ✓
n=979 gibt Pi ≈ 3.14057224569214820420 ✓
n=980 gibt Pi ≈ 3.14261202131682948924 ✓
n=981 gibt Pi ≈ 3.14057432391489367672 ✓
n=982 gibt Pi ≈ 3.14260994732456288788 ✓
n=983 gibt Pi ≈ 3.14057639368958576536 ✓
n=984 gibt Pi ≈ 3.14260788175459338344 ✓
n=985 gibt Pi ≈ 3.14057845506763244992 ✓
n=986 gibt Pi ≈ 3.14260582455572165416 ✓
n=987 gibt Pi ≈ 3.14058050810002545164 ✓
n=988 gibt Pi ≈ 3.14260377567716252800 ✓
n=989 gibt Pi ≈ 3.14058255283734443808 ✓
n=990 gibt Pi ≈ 3.14260173506854080352 ✓
n=991 gibt Pi ≈ 3.14058458932976117672 ✓
n=992 gibt Pi ≈ 3.14259970267988712128 ✓
n=993 gibt Pi ≈ 3.14058661762704363868 ✓
n=994 gibt Pi ≈ 3.14259767846163388500 ✓
n=995 gibt Pi ≈ 3.14058863777856005276 ✓
n=996 gibt Pi ≈ 3.14259566236461123188 ✓
n=997 gibt Pi ≈ 3.14059064983328291108 ✓
n=998 gibt Pi ≈ 3.14259365434004305128 ✓
n=999 gibt Pi ≈ 3.14059265383979292624 ✓
n=1000 gibt Pi ≈ 3.14259165433954305116 ✓
Was ist der exakte Wert von Pi?
Hier steht zum Vergeleich mit den Näherungswerten Pi mit den korrekten zwanzig ersten Nachkommastellen: 3,14159265358979323846
Gibt es alternative Rechenmöglichkeiten?
Ja, zur Annäherung von Pi gibt es sehr viele verschiedene Näherungsformeln. Einige weitere Beispiele stehen im Artikel Pi-Generator ↗
Fußnoten
- [1] C.K. Raju (2007). Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE. History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilisation. Vol. X Part 4. New Delhi: Centre for Studies in Civilization. pp. 114–120. ISBN 978-81-317-0871-2.
- [2] Die Werte wurden mit einem Bash-Skript mit Hilfe des Rechenprogramms bc berechnet. Siehe auch Bash bc ↗
- [3] Leibniz-Reihe. Abgerufen am 27. August 2022. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe
