Definition

Der Krümmungsradius einer Linie ist der „Radius eines Kreises von gleicher Krümmung wie sie die Kurve an dem betreffenden Punkte besitzt^[1]“. Der Krümmungsradius spielt unter anderem eine Rolle für die zweite Ableitung f''(x) sowie auch in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

Krümmungsradius und f''(x)

Kurve heißt hier so viel wie die Linie eines differenzierbaren Graphen im Sinn der Analysis (Mathematik). Der Krümmungsradius ist aber nicht der Wert der zweiten Ableitung f''. Der Wert der zweiten Ableitung f'' gibt keinerlei Information über den Krümmungsradius. Die zweite Ableitung gibt nur Auskunft über die Richtung der Krümmung (links, rechts, gar nicht). Der Krümmungsradius sagt aber etwas über die Stärke der Krümmung und ist damit auch ein Krümmungsmaß ↗

Krümmungsradius und Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein ist von einer sogenannten Raumkrümmung oder einer Krümmung der Raumzeit die Rede. Auch in diesem Zusammenhang wird die Idee eines Krümmungsradius (radius of curvature) verwandt. Dieser Krümmungsradius sagt aber nichts über die Größe des Weltraum oder der Raumzeit aus.^[2] Siehe mehr unter gekrümmter Raum ↗

Fußnoten

[1] Franz Serafin Exner: Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke Verlag. 1919. Dort wird auf Seite 18 der Krümmungsradius klein rho definiert als "der Radius eines Kreises von gleicher Krümmung wie sie die Kurve an dem betreffenden Punkte besitzt". Diese Definition verwendet Exner dann weiter zur Definition vom sogenannten Krümmungsmaß ↗

[2] Dass der Krümmungsradius nichts mit der tatsächlichen Größe der Raumzeit zu tun, wird durch das Gleichnis mit einer konkaven Linse klar: "Suppose that you are ordering a concave mirror for a telescope. In order to obtain what you want you will have to specify two lengths (1) the aperture, and (2) the radius of curvature. These lengths both belong to the mirror—both are necessary to describe the kind of mirror you want to purchase— but they belong to it in different ways. You may order a mirror of 100 foot radius of curvature and yet receive it by parcel post. In a certain sense the 100 foot length travels with the mirror, but it does so in a way outside the cognizance of the postal authorities. The 100 foot length belongs especially to the surface of the mirror, a two-dimensional continuum; space-time is a four-dimensional continuum, and you will see from this analogy that there can be lengths belonging in this way to a chunk of space-time—lengths having nothing to do with the largeness or smallness of the chunk, but none the less part of the specification of the particular sample. Owing to the two extra dimensions there are many more such lengths associated with space-time than with the mirror surface. In particular, there is not only one general radius of spherical curvature, but a radius corresponding to any direction you like to take. For brevity I will call this the 'directed radius' of the world. Suppose now that you order a chunk of space-time with a directed radius of 500 trillion miles in one direction and 800 trillion miles in another. Nature replies 'No. We do not stock that. We keep a wide range of choice as regards other details of specification; but as regards directed radius we have nothing different in different directions, and in fact all our goods have the one standard radius, x trillion miles.' I cannot tell you what number to put for x because that is still a secret of the firm." In Arthur Stanley Eddington: The Nature of the Physical World. MacMillan, 1928 (Gifford Lectures). Dort im Kapitel "VII Gravitation - The Explanation". Seite 140. Siehe auch gekrümmter Raum ↗