Basiswissen

λₘᵢₙ = h·c/(e·U) ist die Formel zur Berechnung der sogenannten Grenzwellenlänge. Die Grenzwellenläne wird im Zusammenhang mit der sogenannten Bremsstrahlung von Röntgengeräten behandelt. Die Grenzwellenlänge ist keine Eigenschaft des Materials. Sie hängt nur von der Beschleunigungsspannung eines Röntgengerätes ab. Das Wort Grenzwellenlänge wird auch noch im Zusammenhang mit dem Fotoeffekt der Quantenphysik benutzt.^[2] Diese zweite Bedeutung ist hier nicht mit behandelt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die Grenzwellenlänge ist links unten im Diagramm als x-Wert eingetragen. Links von dieser Wellenlänge lägen Photonen mit sehr hoher Energie, höher als durch die Energie der auftreffenden Elektronen überhaupt möglich ist. Rechts von der Grenzwellenlänge liegen die tatsächlich ausgesandten Photonen. Deren Energie ist immer niedriger als die maximale kinetische Energie der auftreffenden Elektronen. Das Röntgengerät hatte eine Beschleunigungsspannung von 60 tausend Volt (kV). Damit müsste man die Grenzwellenlänge von etwa 20 Pikometern (Schätzung aus dem Diagramm) berechnen können. © Д. Ильин ☛

Definition

In einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer Glühkathode mit oft vielen zehnertausenden von Volt stark beschleunigt bis auf sehr hohe Geschwindigkeiten. Damit haben diese beschleunigten Elektronen auch eine hohe kinetische Energie Eₖᵢₙ. Die darin gespeicherte Energie wird beim Aufprall eines Elektrons auf das Metall der Anoden größtenteils in Wärme umgewandelt. Ein kleiner Teil führt aber auch zur Entstehung von Röntgenstrahlung in Form von Photonen oder Quanten. Die maximale Energie, die ein solches Quant haben kann, entspricht der maximalen Energie, die das verursachende Elektron bei seiner Ankunft an der Anode hatte.

DEFINITION:

Die kleinstmögliche (min = minimale) Wellenlänge, die ein Photon haben kann, das als Bremsstrahlung in einer Röntgenröhre entsteht ist gleich dem Quotienten aus der Photonenenergie h·c des erzeugten Photons und der kinetischen Energie des aufschlagenden Elektrons e·U. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Duane-Hunt-Gesetz.^[1]

Die Grenzwellenlänge λₘᵢₙ markiert die Grenze zwischen Wellenlängen für die Röntgenquanten (Röntgenphotonen) entstehen können und zwischen Wellenlängen, bei denen keine Röntgenquanten mehr entstehen können. Der "verbotene" Bereich entspricht dabei Energie des Röntgenquants die größer wären als die Energie der auftreffenden Elektronen. Den Zusammenhang zwischen der Photonenenergie gibt die Formel E=hf ↗

Persönliche Anmerkung

Bei der Betrachtung der Grenzwellenlänge kann sich ein psychologisch interessanter Denkwiderstand spürbar machen. Unterhalb einer bestimmten Wellenlänge gibt es keine ausgesandten Photonen. Dieses "unterhalb" hin zu kleineren Wellenlängen entspricht aber einem "oberhalb" von Energien: in den typischen Diagrammen zum Röntgenspektrum steigt die Wellenlänge auf der x-Achse von links nach rechts an. Damit sinkt aber die Energie die ausgesandten Photonen von links nach rechts im Diagramm. Man muss sich deutlich machen, dass die Grenzwellenlänge letztendlich die Energie der Photonen nach oben hin begrenzt, obwohl im Diagramm ein Bereich hin zu kleineren Werten (den kleineren Wellenlängen) abgegrenzt wird.

Fußnoten

[1] W. Duane, F. L. Hunt: On X-Ray Wave-Lengths. In: Physical Review. Band 6, Nr. 2, 1915, S. 166–172, doi:10.1103/PhysRev.6.166.

[2] Die Bremsstrahlung als Teil des Röntgenspektrums wird charakterisiert als ein: "kontinuierliches Spketrum, das an seinem kurzwelligen Ende scharf abbricht. Für die Grenzfrequenz vG,die Grenzwellenlänge λG und die Grenzwellenzahl NG gilt das Duane-Hunt-Gesetz, das sich aus dem Satz von der Erhaltung der Energie ergibt." Der Großbuchstabe G als Index ist im Original unten rechts tiefgestellt. Der Term zur Berechnung der Grenzwellenlänge wird dann angegeben als: c·h/(e·U). In: Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort im Kapitel "8.3.8 Röntgensprektren", Seite 794.

[3] Zum quantenphysikalischen Fotoeffekt heißt es: "Die Wellenlänge bzw. die Frequenz, bei der der Fotoeffekt gerade einsetzt, werden als die Grenzwellenlänge bzw. die Grenzfrequenz bezeichnet." In: Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort im Kapitel "8.1 Die Grundlagen der Quantenphysik", Seite 722.