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Graphisch ableiten

f'(x) aus Graph von f(x) bestimmen

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Basiswissen


Man hat den Graphen einer Funktion f(x) gegeben. Durch Interpretation charakteristischer Punkte sowie der Steigung soll man möglichst gut abschätzen, wie der Graph der Ableitung f'(x) aussieht. Die exakten Werte sind zweitranging. Das Ziel ist eine gute Skizze.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Der grüne Graph f(x) gibt abgeleitet den orangenen Graphen f'(x).☛


Was ist der Kerngedanke?


  • Man geht auf einen beliebigen Punkt von f(x).
  • Die Steigung von diesem Punkt ist gleich dem y-Wert von f'(x):
  • Anders gesagt: Der Funktionswert von f'(x) ist die Steigung von f(x).
  • Beispiel: wo f(x) waagrecht verläuft ist die Steigung von f(x) Null.
  • Also hat dort f'(x) den y-Wert 0.

Was man vorab wissen sollte


  • Die Steigung von f(x) ist dort positiv, wo ...
  • der Graph von links nach rechts betrachtet bergbauf geht.
  • Die Steigung von f(x) ist dort negativ, wo ...
  • der Graph von links nach rechts betrachtet bergab geht.
  • Die Steigung von f(x) ist dort gleich null,
  • der Graph einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt hat.

1. Schritt: charakteristische Punkte auswerten


  • Man fängt immer mit charakteristischen Punkten an:

2. Schritt: Steigung dazwischen interpretieren


  • Dann ergänzt man zwischen den Punkten den Graphen:
  • f(x) geht von links nach rechts bergauf ⭢ f'(x) verläuft oberhalb der x-Achse
  • f(x) geht von links nach rechts bergab ⭢ f'(x) verläuft unterhalb der x-Achse

Tipps


  • In der Schulmathematik kommen meist nur ganzrationale Funktionen vor.
  • Für ganzrationale Funktionen gibt es eine einfache Regel:
  • Mit jedem Ableiten wird der Grad der Funktion um eins kleiner.