Einseitiger Hebel (umgekehrt proportional)
Lernwerkstatt
Basiswissen
Mit diesem einseitigen Hebel als Tischversuch kann man einige Eigenschaften einer proportionalen Funktion am Beispiel von Kräften in Newton gemessen betrachten. Umgekehrt propotional zugeordnet sind hier die Entfernung der Bohrung vom Drehpunkt und die nötige Kraft, um den Balken in der Waage zu halten.
Die Idee des Versuchs
Der gelbe Faden wird in irgendeine der kleinen Bohrungen so eingesteckt, dass man damit den Balken mit der Hand nach oben ziehen und in der Waagrechten (Horizontale) halten kann. Die dazu benötigte Zugkraft nach oben kann man mit einem Federkraftmesser bestimmen.
x und y in diesem Versuch
- x = Abstand des Fadens vom Drehpunkt in cm (ist auf Balken markiert) Hebelarm ↗
- y = Kraft in Newton, mit der man am Faden nach oben ziehen muss, es gilt das Hebelgesetz ↗
Die Idee der Produktgleichheit
x mal y gibt immer 10: rechnet man die Positionszahl der Bohrung mal der benötigten Kraft, wird das Ergebnis immer ungefährt 10 zehn sein. Wenn man zum Beispiel den Faden bei der Position 2 einsteckt, dann benötigt man dort 5 Newton Kraft, um den Balken waagrecht zu halten. Das Produkt aus den beiden Zahlen ist 10. Dass das Produkt zweier physikalisch oder logisch miteinander verbundenen Größen immer denselben Wert ergibt ist typisch für sogenannte proportionale Funktionen, auch proportionale Zuordnungen genannt. In der Mathematik spricht man von der sogenannten Produktgleichheit ↗
Die Idee des umgekehrten Wachstums
Verdoppelt man x, halbiert sich y: die Grundidee der umgekehrten Proportionalität ist die folgende: verändert man eine der zwei Größen auf ihr n-faches, dann verändert sich die andere Größe auf ein n-tel ihres vorherigen Wertes. Erhöht man zum Beispiel den Abstand x des Fadens vom Drehpunkt auf sein Dreifaches, dann verringert sich die nötige Haltekraft mit der man nach oben ziehen muss auf ein Drittel. Für Berechnungen kann man deshalb auch den umgekehrt proportionalen Dreisatz verwenden. Siehe mehr unter umgekehrt proportional ↗
Wachstum gegen unendlich
Eine interessante Eigenschaft umgekehrt proportionaler Funktionen (oder Zuordnungen) ist ihr Verhalten in Extrembereichen. Fädelt man den Faden immer näher am Drehpunkt ein, geht man also mit dem x-Wert immer näher an die Null heran, dann steigt irgendwann die Kraft, also die Newtonzahl y sehr stark an. Könnte man den Faden einen Millimeter, also nur 0,1 Zentimeter vom Drehpunkt entfernt einfädeln, wäre die nötige Haltekraft schon 100 Newton. Bei einem abstan don einem Zehntel Millimeter oder 0,01 Zentimetern wären es schon 1000 Newton. Man sagt, dass die Kraft bei Annäherung von x an die 0 „über alle Grenzen“ wächst, sie geht gegen unendlich ↗