Basiswissen

Was meint uneigentliches Integral?

• Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
  

• Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
  

• Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
  

• Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
  

• Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
  

• Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
  

• asymptotische einem y-Wert annähert.
  

• Das sind zwei unterschiedliche Fälle.
  

Was meint "zweiter Art"?

• Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
  

• plus oder minus unendlich einsetzen.
  

Was wäre ein Beispiel?

• Betrachte die Normalhyperbel f(x)=1:x ↗
  

• Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 0 bis 1?
  

• Bei 0 ist der Funktionswert nicht definiert.
  

• Geht man von rechts kommend mit x gegen 0, ...
  

• dann geht der Funktionswert gegen plus unendlich.
  

Wie löst man so etwas?

• Man setzt für den problematischen Rand eine Konstante wie y ein.
  

• Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
  

• und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
  

• Ganz am Ende lässt man y gegen den problematischen x-Wert laufen.
  

• Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.
  

Wie sieht die Beispielrechnung aus?

• Nehmen wir f(x)=1:(Wurzel von x)
  

• Die Grenzen sollen 0 und 1 sein.
  

• Für die Grenze 0 setzt man y ein.
  

• Die Stammfunktion gibt F(x)=2·(Wurzel von x)
  

• Integrationsgrenzen einsetzen:
  

• Integralwert = 2·1-2·(Wurzel von y)
  

• Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
  

• Der Integralwert wird dann zu 2-0 = 2.
  

• Das ist der gesuchte Integralwert.