Uneigentliches Integral zweiter Art


Anleitung


Basiswissen


Der Graph einer Funktion nähert sich irgendwo asymptotisch einer senkrechten Linie an. Dadurch entsteht gedanklich ein unendlich langes Flächenstück parallel zur y-Achse. Der Flächeninhalt davon kann dennoch oft exakt berechnet werden. Das ist hier kurz vorgestellt.

Was meint uneigentliches Integral?


◦ Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
◦ Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
◦ Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
◦ Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
◦ Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
◦ Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
◦ asymptotische einem y-Wert annähert.
◦ Das sind zwei unterschiedliche Fälle.

Was meint "zweiter Art"?


◦ Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
◦ plus oder minus unendlich einsetzen.

Was wäre ein Beispiel?


◦ Betrachte die Normalhyperbel => f(x)=1:x
◦ Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 0 bis 1?
◦ Bei 0 ist der Funktionswert nicht definiert.
◦ Geht man von rechts kommend mit x gegen 0, ...
◦ dann geht der Funktionswert gegen plus unendlich.

Wie löst man so etwas?


◦ Man setzt für den problematischen Rand eine Konstante wie y ein.
◦ Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
◦ und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
◦ Ganz am Ende lässt man y gegen den problematischen x-Wert laufen.
◦ Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.

Wie sieht die Beispielrechnung aus?


◦ Nehmen wir f(x)=1:(Wurzel von x)
◦ Die Grenzen sollen 0 und 1 sein.
◦ Für die Grenze 0 setzt man y ein.
◦ Die Stammfunktion gibt F(x)=2·(Wurzel von x)
◦ Integrationsgrenzen einsetzen:
◦ Integralwert = 2·1-2·(Wurzel von y)
◦ Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
◦ Der Integralwert wird dann zu 2-0 = 2.
◦ Das ist der gesuchte Integralwert.