Uneigentliches Integral zweiter Art
Anleitung
Basiswissen
Der Graph einer Funktion nähert sich irgendwo asymptotisch einer senkrechten Linie an. Dadurch entsteht gedanklich ein unendlich langes Flächenstück parallel zur y-Achse. Der Flächeninhalt davon kann dennoch oft exakt berechnet werden. Das ist hier kurz vorgestellt.
Was meint uneigentliches Integral?
- Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
- Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
- Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
- Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
- Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
- Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
- asymptotische einem y-Wert annähert.
- Das sind zwei unterschiedliche Fälle.
Was meint "zweiter Art"?
- Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
- plus oder minus unendlich einsetzen.
Was wäre ein Beispiel?
- Betrachte die Normalhyperbel f(x)=1:x ↗
- Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 0 bis 1?
- Bei 0 ist der Funktionswert nicht definiert.
- Geht man von rechts kommend mit x gegen 0, ...
- dann geht der Funktionswert gegen plus unendlich.
Wie löst man so etwas?
- Man setzt für den problematischen Rand eine Konstante wie y ein.
- Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
- und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
- Ganz am Ende lässt man y gegen den problematischen x-Wert laufen.
- Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.
Wie sieht die Beispielrechnung aus?
- Nehmen wir f(x)=1:(Wurzel von x)
- Die Grenzen sollen 0 und 1 sein.
- Für die Grenze 0 setzt man y ein.
- Die Stammfunktion gibt F(x)=2·(Wurzel von x)
- Integrationsgrenzen einsetzen:
- Integralwert = 2·1-2·(Wurzel von y)
- Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
- Der Integralwert wird dann zu 2-0 = 2.
- Das ist der gesuchte Integralwert.