Basiswissen

Was meint uneigentliches Integral?

• Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
  

• Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
  

• Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
  

• Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
  

• Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
  

• Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
  

• asymptotische einem y-Wert annähert.
  

• Das sind zwei unterschiedliche Fälle.
  

Was meint "erster Art"?

• Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
  

• plus oder minus unendlich einsetzen.
  

Was wäre ein Beispiel?

• Betrachte die Normalhyperbel f(x)=1:x ↗
  

• Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 1 bis plus unendlich?
  

• Richtung plus unendlich nähert sich der Graph der x-Achse an.
  

• Aber er erreicht sie niemals. Wie geht man damit um?
  

Wie löst man so etwas?

• Man setzt für den unendlichen Rand eine Konstante wie y ein.
  

• Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
  

• und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
  

• Ganz am Ende lässt man y gegen unendlich laufen.
  

• Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.
  

Wie sieht die Beispielrechnung aus?

• Nehmen wir f(x)=1:x²
  

• Die Grenzen sollen 1 und plus unendlich sein.
  

• Für plus unendlich setzt man gleich aber y ein.
  

• Die Stammfunktion gibt F(x)=-1/x
  

• Integrationsgrenzen einsetzen:
  

• Integralwert = -1(y)-(-1/1)
  

• Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
  

• Der Integralwert wird dann zu 0-(-1) = 1.