Uneigentliches Integral erster Art


Anleitung


Basiswissen


Der Graph einer Funktion nähert sich asymptotisch einer waagrechten Linie immer mehr an. Dadurch entstehen gedacht unendlich lange Flächen parallel zur x-Achse. Der Flächeninhalt kann dennoch oft exakt berechnet werden. Das ist hier kurz erklärt.

Was meint uneigentliches Integral?


◦ Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
◦ Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
◦ Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
◦ Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
◦ Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
◦ Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
◦ asymptotische einem y-Wert annähert.
◦ Das sind zwei unterschiedliche Fälle.

Was meint "erster Art"?


◦ Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
◦ plus oder minus unendlich einsetzen.

Was wäre ein Beispiel?


◦ Betrachte die Normalhyperbel => f(x)=1:x
◦ Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 1 bis plus unendlich?
◦ Richtung plus unendlich nähert sich der Graph der x-Achse an.
◦ Aber er erreicht sie niemals. Wie geht man damit um?

Wie löst man so etwas?


◦ Man setzt für den unendlichen Rand eine Konstante wie y ein.
◦ Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
◦ und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
◦ Ganz am Ende lässt man y gegen unendlich laufen.
◦ Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.

Wie sieht die Beispielrechnung aus?


◦ Nehmen wir f(x)=1:x²
◦ Die Grenzen sollen 1 und plus unendlich sein.
◦ Für plus unendlich setzt man gleich aber y ein.
◦ Die Stammfunktion gibt F(x)=-1/x
◦ Integrationsgrenzen einsetzen:
◦ Integralwert = -1(y)-(-1/1)
◦ Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
◦ Der Integralwert wird dann zu 0-(-1) = 1.