Basiswissen

Tangente meint von der wörtlichen Bedeutung her so vielwie „Berührende“, eine Gerade Linie, die ein Gebilde in einem Punkt berührt ohne das Gebilde aber dabei von einer Seite zur anderen zu durchschneiden oder in es einzudringen. Dieser Deutung widerspricht aber die Definition in der Analysis.

Tangente in der Analysis

Tangenten in der Analysis sind eindeutig definiert: eine Tangente gehört immer zu einem bestimmten Punkt P an einer differenzierbaren Stelle auf dem Graphen einer Funktion f. Jede Gerade, die durch diesen Punkt geht und dort dieselbe Steigung hat wie f ist per Definition eine Tangente^[1]^[2]. Daraus ergeben sich zwei verwirrende Konsequenzen.

Tangenten dürfen einen Graphen durchdringen

Der Graph von f(x)=x³ ist eine sogenannte kubische Parabel mit einem deutlich sichtbaren Sattelpunkt. Die Tangente an diesem Sattelpunkt durchschneidet den Graphen von links nach rechts. Dass eine Tangente einen Graphen aber echt durchschneidet widerspricht der Intuition vieler Personen, dass nämlich eine Tangente gerade darüber definiert ist, dass sie einen Graphen nur "kurz berührt" aber nicht wirklich durchschneidet. Siehe unter Satteltangente ↗

Tangenten dürfen einen Graphen mehrfach durchdringen

Der Graph von f(x)=x³-27x ist eine sogenannte kubische Parabel mit einem deutlich sichtbaren Hochpunkt bei (-3|54). Die Tangente schneidet den Graphen an einer weiteren Stelle weiter rechts vom Hochpunkt. Auch das ist für Tangenten in der Analysis ausdrücklich erlaubt. Siehe unter Hochpunkttangente ↗

Tangenten in der Geometrie

Klassische Beispiele sind Kreistangenten. In der Analysis wird grundsätzlich noch darauf Wert gelegt, dass eine Tangene nur für solche Punkte eines Graphen definiert ist, wenn dieser Punkt auch differenzierbar ist. Differenzierbar bedeutet unter anderem, dass der Punkt kein Knickpunkt sein darf. Es tritt an dieser Stelle die Frage auf, ob diese Einschränkung aus der Analysis ganz allgemein für Tangenten gelten soll. Wenn ja, dann hätte ein Viereck keine Tangenten an seinen Ecken. Falls nicht, könnte man den Ecken eines Vierecks beliebig viele Tangenten zuordnen. Was gilt? Siehe auch Tangens ↗

Offene Fragen

Wie ist eine Tangente in der Geometrie definiert? Darf sie den Rand einer Figur durchdringen oder nur echt berühren?

Gibt es in der Analysis ein Unterscheidung (zwei Worte) von Tangenten, die einen Graphen durchdringen oder nur berühren aber ohne Durchdringung?

Gibt es in der Analysis ein Wort für eine Tangente, die einen Graphen nur genau einmal berührt ohne ihn dabei zu druchdringen?

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjawew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage (2016). Edition Harri Deutsch. Verlag Europa-Lehrmittel. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Seite 251 ff. Siehe auch Der Bronstein ↗

[2] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Siehe auch Spektrum Lexikon der Mathematik ↗