Summe der n ersten Potenzen von q
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Basiswissen
4⁰+4¹+4²+4³+4⁴+4⁵ sind die ersten Potenz von 4 bis 4ⁿ. Man setzt n=5 in die Formel ein und erhält so den Wert der Summe direkt ausgerechnet. Das ist hier an einem Zahlenbeispiel erklärt.
Definition
- Die Formel gilt für die ersten Potenzen von q bis hin zu q hoch n.
- Da q^0 mitgerechnet wird, sind das streng gesehen nicht die n ersten Potenzen.
- Tatsächlich sind es die eine mehr als n Potenzen, also die n+1 ersten Potenzen.
- Die Formel ist richtig wenn man sagt: die ersten Potenzen bis q^n.
Zahlenbeispiel
- Gegeben sind ist die Summe 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6
- Vereinfacht gibt das die Summe: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
- Der höchste Exponent gibt: n=6
- Die Basis ist: q=2
- Allgemeine Formel: [1-q^(n+1)]: [1-q]
- Einsetzen: [1-2^(6+1)]: [1-2]
- Rechnung: [1-128]:[-1]
- Summe = 127
Bedeutung
- Die Summe von Kubikzahlen spielt unter anderem eine Rolle in der Integralrechnung.
- Sie wird verwendet, um die Fläche unter einer kubischen Funktion zu berechnen.
- Die Fläche lässt sich mit grundlegendsten Methoden berechnen über die 👉 Säulenmethode
Ähnliche Formeln
Formeln, die lange Plusketten mit weniger Aufwand berechenbar machen nennt man in der Mathematik auch Summenformeln. Für weitere Beispiele zu Summenformeln siehe unter 👉 Summenformeln (Mathematik)