Satz von Moivre-Laplace
Stochastik
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Basiswissen ·
Satz ·
Die Laplace-Bedingung ·
Wie berechnet man die Standardabweichung σ? ·
Hintergrund ·
Nutzen ·
Graph ·
Sigmaregeln ·
Fußnoten
Basiswissen
Je länger eine Bernoulli-Kette ist, desto besser passt sie auf eine Normalverteilung. Anders gesagt: für große n-Werte konvergiert die Binomialverteilung gegen die Normalverteilung. Das gilt mit meist ausreichender Genauigkeit, wenn die Standardabweichung der Binomialverteilung größer oder gleich groß wie drei ist (Laplace-Bedingung).
Satz
Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für n gegen unendlich und für Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 gegen die Normalverteilung. Die dazugehörige mathematische Funktion heißt Gauß-Funktion ↗
Die Laplace-Bedingung
σ ≥ 3: wenn die Standardabweichung Sigma (σ) gleich oder größer ist als 3, dann kann man den Satz von Moivre-Laplace anwenden. Dieses Kriterium nennt man auch kurz die Laplace-Bedingung. Man rechnet das kleine Sigma für die Binomialverteilung aus. Ist das Ergebnis 3 oder größer, kann man die Binomialverteilung handhaben, als sei sie eine Normalverteilung ↗
Wie berechnet man die Standardabweichung σ?
σ = √(n·p·(1-p)) was in Worten heißt: die Standardabweichung σ ist gleich der Wurzel aus dem Produkt der Länge n der Bernoulli-Kette, der Trefferwahrscheinlichkeit p und der Differen aus 1 und p. Beispiel: n=100 und p=½ gibt: σ = √(100·½·(1-½)) oder ausgerechnet genau 5. Siehe auch Standardabweichung aus Binomialverteilung ↗
Hintergrund
Binomialverteilung meint hier die Wahrscheinlichkeiten für Bernoulli-Ketten. Eine Bernoulli-Kette ist eine Kette aus einer Anzahl n gleichartiger Bernoulli-Exerpimente (nur zwei Ausgänge). Wenn man beispielweise 20 mal würfelt und man unterscheidet nur die Ausgänge "Es kam eine 6" und "es kam keine 6", dann hat man eine Bernoulli-Kette der Länge n=20. Trägt man die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Anzahlen von 6ern (also von 0 bis 20) als Säulendiagramm auf, dann entsteht daraus eine Art Kurve. Der Satz von Moivre-Laplace sagt nun, dass die Form dieses Säulendiagramm der Graph einer Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) umso ähnlicher wird, je größer das n der Bernoulli-Kette ist.
Nutzen
Bei großem Stichprobenumfang kann also die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung stellt die Verteilung der Ergebnisse von Bernoulli-Ketten dar. Der Vorteil liegt darin, dass die Normalverteilung (Gauß-Funktion) rechnerisch einfacher zu handhaben ist, also die Formeln für eine Binomialverteilung. Es gelten dann auch automatisch einige Eigenschaften der Normalverteilung auch für die Binomialverteilung.
Graph
Wenn die Laplace-Bedingung gilt, Sigma also größer oder gleich groß ist wie drei, dann gelten auch in einer sehr guten Näherung die folgenden Aussagen:
- Arithmetisches Mittel = Median = Modalwert
- 50% der Daten sind kleiner als der Median.
- 50% der Daten sind größer als der Median.
- Ein Histogramm zu den Daten ist symmetrisch.
Sigmaregeln
Wenn die Laplace-Bedingung gilt, Sigma also größer oder gleich groß ist wie drei, dann gelten auch in einer sehr guten Näherung die folgenden Aussagen:
- Im Intervall der Abweichung ein Sigma vom Mittelwert sind 68,27 % aller Werte zu finden,
- Im Intervall der Abweichung zwei Sigma vom Mittelwert sind 95,45 % aller Werte zu finden,
- Im Intervall der Abweichung drei Sigma vom Mittelwert sind 99,73 % aller Werte zu finden.
- 50 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 0,675 Sigma vom Mittelwert,
- 90 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 1,645 Sigma vom Mittelwert,
- 95 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 1,960 Sigma vom Mittelwert,
- 99 % aller Werte haben eine Abweichung von höchstens 2,576 Sigma vom Mittelwert.
Fußnoten
- [1] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-7426-2315-7. Seite 105.