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Potenzbasis umwandeln

2³ = e hoch ?

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Basiswissen


In dem Term 2³ ist die 2 die Basis und die 3 der Exponent. Der Wert des Ausdruckes ist 8. Kann man eine Potenz mit einer anderen Basis finden, die denselben Wert ergibt? Das wird hier kurz für die neue Basis e (etwa 2,718) erklärt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht, wie aus 2³ e hoch ln(8) wird.☛


Kurzversion


  • a^x = b^[log von (a^x) zur Basis b]
  • Vereinfacht: a^x = b^[x·log(a)]

Fachworte


  • 2³ als Ganzes nennt man eine Potenz von der Zwei.
  • Die 3 ist die Hochzahl, auch Exponent genannt.
  • Die 2 ist die Basis.

Was ist e?


  • Sie spielt eine Rolle bei Exponentialfunktionen.
  • Der Wert von e liegt bei etwa 2,718.

Schritt für Schritt


  • 2³ soll in e hoch umgewandelt werden.
  • Nimm die gegebene Potenz, hier also 2³.
  • Schreibe ein Gleichzeichen dahinter: 2³ =
  • Schreibe die neue Basis dahinter: 2³ = e
  • Schreibe dann als Exponent der neuen Basis:
  • log zur neuen Basis hoch alter Exponent.
  • Das gibt hier: 2³ = e ^ (log zur Basis e von 2³)
  • Die alte Potenz kann man oft noch ausrechnen.
  • Das gibt hier: 2³ = e ^ (log zur Basis e von 8)
  • Log zur Basis ist kurzgeschrieben auch: ln.
  • Also: 2³ = e^ln(8)
  • Oder: 2³ ~ e^2,1
  • Fertig.

Legende


  • Das Dach ^ meint "hoch".
  • 2^5 meint also 2-hoch-5.

Wozu dient der Wechsel der Basis?


In der höheren Mathematik und in der Physik ist es oft sinnvoll, alle Potenzen als Potenzen der Eulerschen Zahl e auszudrücken. Ein Grund dafür ist, dass man solche Potenzen in Funktionstermen leichter ableiten kann als Potenzen mit anderen Basen. Siehe als Anwendungsbeispiel Exponentialfunktion in e-Funktion [umwandeln] ↗