Orthogonale Vektoren erkennen
Anleitung
Basiswissen
Die Vektoren (2|3|4) und (3|2|-3) sind zueinander orthogonal: immer dann - und auch nur dann - wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren genau 0 ergibt, dann sind die zwei Vektoren zueinander orthogonal, sie bilden dann also einen rechten Winkel. Das ist hier kurz mit Beispielen vorgestellt.
Ein Rechenbeispiel zu orthogonalen Vektoren
Die zwei Vektoren (2|3|4) und (3|2|-3) sind zueinander orthogonal, da ihr Skalarprodukt genau 0 ergibt. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren bildet man darüber, dass man zunächst alle entsprechenden Vektorkoordinaten miteinander multipliziert (malrechnet), erst die beiden x-Koordinaten, dann die zwei y-Koordinaten und am Ende die beiden z-Koordinaten: 2 mal 3, dann 3 mal 2 und dann 4 mal -3. Das gibt die drei Ergebnisse 6, 6 und -12. Am Ende addiert man die drei Ergebnisse zusammen, rechnet hier also 6 + 6 + (-12). Das gibt genau 0. Damit sind die zwei Vektoren vom Anfang zueinander orthogonal. Siehe mehr zum rechnerischen Hintergrund unter Skalarprodukt ↗
Weitere Zahlenbeispiele zu orthogonalen Vektoren
- Orthogonal sind: (1|1|1) und (1|-1|0) ✓
- Orthogonal sind: (1|1|1) und (1|-2|1) ✓
- Orthogonal sind: (2|0|2) und (0|2|0) ✓
- Siehe auch orthogonal ↗
Gegenbeispiele zu orthogonalen Vektoren
- Nicht orthogonal sind: (1|1|1) und (-1|-1|0)
- Nicht orthogonal sind: (1|1|1) und (1|-4|1)
- Nicht orthogonal sind: (2|0|2) und (0|2|0)
- Siehe auch nicht orthogonal ↗
Warum ist der Nullvektor verboten?
Den Vektor (0|0|0) nennt man auch den Nullvektor. Tritt er als Faktor in einem Skalarprodukt auf, so wird das Skalarprodukt rechnerisch immer den Wert 0 ergeben. Der Nullvektor ist anschaulich gesehen jedoch nur ein Punkt (man kann darüber streiten, ob das für einen Vektor erlaubt sein soll). Es macht wenig Sinn davon zu sprechen, dass ein Punkt einen 90°-Winkel mit einem Vektor bildet. Daher schließt man diesen Fall aus. Bei einem Nullvektor spricht man nicht von Orthogonalität zu einem anderen Vektor. Siehe auch Nullvektor ↗
Darf man Vektoren waagrecht schreiben?
Ja, zumindest, wenn man anerkannte Hochschulbücher der Mathematik[1] als Vorbild akzeptiert. Wichtig ist, dass man stets erkennt, dass die drei Koordinaten einen Vektor und nicht einen Punkt meinen. Die Schreibweise muss vor allem eindeutig sein, etwa: der Vektor (2 4 7). Hier weiß jeder was gemeint ist. Siehe auch Vektorschreibweisen ↗
Fußnoten
- [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort zum Beispiel auf Seite 188 die Schreibweisen {a1,a2,a3} und (a1,a2,a3). Siehe auch Vektorschreibweisen ↗