Basiswissen

Man wirft eine Münze. Es wird nur unterschieden, ob Kopf oder Zahl kam. Für eine faire Münze gilt: die Wahrscheinlichkeit für jede Seite ist 0,5 oder 50 %. Da man nur zwei Ausgänge unterscheidet, ist es ein Bernoulli-Experiment. Die ideal faire Münze ist auch ein Modell für einen sogenannten Zufallsgenerator.^[1]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht eine Krügerrand Goldmünze.☛

Vorgehen

Münzenwerfen geht so: Jemand wirft eine Münze in die Luft. Am besten wirft er sie so, dass sie sich in der Luft ein paar Male dreht. Dann fängt man die Münze mit der Hand auf oder man lässt sie auf den Boden oder den Tisch fallen. Dann sieht man, welche Seite der Münze oben liegt. Wenn man vorher diese Seite richtig geraten hat, dann hat man gewonnen.

Zahl

Auf einer Seite einer Münze steht meist groß die Zahl, die einem sagt, wie viel die Münze wert ist. Diese Seite heißt in dem Spiel "Zahl".

Kopf oder Wappen

Früher hatten die Münzen oft auf einer Seite eine Zahl stehen. Auf der anderen Seite war meistens der Kopf des Königs oder Kaisers abgebildet. Deshalb sagt man noch heute "Kopf oder Zahl". Die Zahl gibt es noch. Aber statt des Kopfes sind heute auf der anderen Seite auch oft andere Dinge zu sehen. Viele Münzen haben statt eines Kopfes von einem berühmten Menschen auch ein Wappen oder sonst ein Bild auf der Rückseite. Das kann ein Adler sein, eine Blume oder ein Gebäude. Das nennt man oft Wappen.

Faire Münze

Als fair bezeichnet man eine Münze, bei der die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl gleich groß ist, also jeweils 0,5 oder 50 %. Eine perfekt faire Münze ist auch ein idealer Zufallsgenerator.^[1] Das Gegenteil von fair in diesem Sinn ist 👉 gezinkt

Modell für Zufallsgeneratoren

Wenn man eine faire Münze genau einmal wirft, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf genau ½ oder 0,5 oder 50 %. Auch die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist genau ½ oder 0,5 oder 50 %. Nun kann man fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Abfolge von Kopf oder Zahl ist, wenn man die faire Münze mehrmals hintereinander wirft. Man unterstellt dabei (zu Recht), dass jeder Wurf für sich alleine in keinster Weise von den vorherigen Versuchen beeinflusst wird. Dabei tritt ein vielleicht überraschender Effekt auf.

Stellt man etwa das dreimalige Werfen einer Münze in einem Baumdiagramm dar^[2], so entsteht ein Baum mit insgesamt 8 Ausgängen, entsprechend für die 8 möglichen Abfolgen. Sagt man, dass Kopf mit einer 0 und Zahl mit einer 1 gekennzeichnet werden, dann kann man die 8 Möglichkeiten wie folgt darstellen.

Um die Wahrscheinlichkeit für die Abfolge 000 zu berechnen, kann man sich die drei Stufen nacheinander vorstellen.

Erste Stufe: hier eine Null zu werfen hat die Wahrscheinlichkeit ½.

Zweite Stufe: hier eine Null zu werfen hat die Wahrscheinlichkeit ½.

Dritte Stufe: hier eine Null zu werfen hat die Wahrscheinlichkeit ½.

Gemäß der sogenannten Pfadregel ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Abfolge 000 aus der Multiplikation aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, also als das Produkt ½·½·½. Das Ergebnis ist dann 1/8. Siehe auch 👉 Pfadregel

Dasselbe Ergebnis würde man für die Abfolge 100 oder auch 011 erhalten. Jede Abfolge ist dabei gleich wahrscheinlich wie jede andere. Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Abfolgen liegt bei einem Achtel oder 12,5 %. Das heißt aber auch, dass die Abfolge 111 genau so wahrscheinlich ist wie die Abfolge 010 oder 100. Das führt zu einer überraschenden Konsequenz. Wirft man die Münze nicht nur drei Mal sondern zum Beispiel 10 mal, wären wieder alle möglichen solche Abfolgen gleich wahrscheinlich. Die Bitfolge 1111111111 wäre also genau gleich wahrscheinlich wie die Bitfolge 1001110010. Doch im Alltag würde die meisten Menschen bei der ersten Bitfolge eine Manipulation vermuten während sie die zweite Bitfolge als zufällig empfänden. Das wirft die interessante Frage auf, woran man die Zufälligkeit einer Abfolge von einzelnen Ereignissen überhaupt sicher erkennen will. Siehe mehr dazu unter 👉 Zufallsgenerator

Fußnoten

[1] "A random bit sequence could be interpreted as the result of the flips of an unbiased “fair” coin with sides that are labeled “0” and “1,” with each flip having a probability of exactly ½ of producing a “0” or “1.” Furthermore, the flips are independent of each other: the result of any previous coin flip does not affect future coin flips. The unbiased “fair” coin is thus the perfect random bit stream generator, since the “0” and “1” values will be randomly distributed (and [0,1] uniformly distributed)." In: Andrew Rukhin: A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications. NIST Special Publication 800-22. Revision 1a. April 2010. Online: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/legacy/sp/nistspecialpublication800-22r1a.pdf

[2] Nicht für Münzen, aber für Würfeln, siehe zum Baumdiagramm 👉 Zweimal Würfeln über Baumdiagramm