Kreisgleichung

Analysis

Basiswissen · Die allgemeine Kreisgleichung · Zahlenbeispiel für die allgemeine Kreisgleichung · Was ist eine Ortskurve? · Tipps zur Herleitung der allgemeinen Kreisleistung · Schritt 1: der Satz des Pythagoras · Schritt 2: den Graphen verschieben · Gibt es auch eine Kreisfunktion? · Fußnoten

Basiswissen

x²+y²=16 ist eine einfache Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt bei (0|0) und dem Radius 4. Hier wird der Aufbau der allgemeinen Kreisgleichungen in den Formen - (x-xₘ)² + (y-yₘ)² = r² oder - y = ±√[r²-(x-xₘ)² ]+yₘ mit Beispielwerten kurz vorgestellt. Die Formeln, etwa zur Berechnung des Umfangs oder die Fläche sind unter dem Stichwort Kreisformeln in einem anderen Artikel^[1] erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Eine Kreisgleichung mit dazugehörigen Graphen. Das Dach ^ steht für hoch. Und ^½ heißt so viel wie die Wurzel aus.☛

Die allgemeine Kreisgleichung

Die ersten zwei Gleichungen sind die allgemeine Form der Kreisgleichung. Allgemein heißt, dass der Mittelpunkt und der Radius frei gewählt werden können. Dabei dürfen die x-Werte (Definitionsbereich) nicht weiter vom x-Wert des Mittelpunktes entfernt sein, als der Radius. Die dritte Gleichung gilt für einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (0|0) und mit beliebigen Radius r.

(x-xₘ)² + (y-yₘ)² = r²

y = ±√[r²-(x-xₘ)² ]+yₘ

y = ±√[r²-x²]

Mit:

x = x-Wert eines Punktes auf der Kreislinie ↗

y = y-Wert eines Punktes auf der Kreislinie ↗

xₘ = x-Koordinate des Kreismittelpunkt[es] ↗

yₘ = y-Koordinate des Kreismittelpunkt[es] ↗

r = der Kreisradius ↗

± = das Plusminuszeichen ↗

√ = das Wurzelzeichen ↗

Zahlenbeispiel für die allgemeine Kreisgleichung

Gezeichnet werden soll ein Kreis mit dem Mittelpunkt bei (5|5) und einem Radius von 4. Einsetzen in die Kreisgleichung y = ±√[r²-(x-xₘ)² ]+yₘ gibt dann y = ±√^{[4²-(x-5)² ]}+5. Damit kann man für verschiedene x-Werte von 1 bis 9 die dazugehörigen y-Werte berechnen^[2]. Zu jedem x-Wert gehören grundsäztlich zwei y-Werte, nämlich einer für den oberen Halbkreis und einer für den unteren Halbkreis:

zu x = 1.00 gehört: y = 5.00

zu x = 1.20 gehören: y ≈ 6.24 und y ≈ 3.76

zu x = 1.40 gehören: y ≈ 6.74 und y ≈ 3.26

zu x = 1.60 gehören: y ≈ 7.10 und y ≈ 2.90

zu x = 1.80 gehören: y ≈ 7.40 und y ≈ 2.60

zu x = 2.00 gehören: y ≈ 7.64 und y ≈ 2.36

zu x = 2.20 gehören: y ≈ 7.85 und y ≈ 2.15

zu x = 2.40 gehören: y ≈ 8.03 und y ≈ 1.97

zu x = 2.60 gehören: y ≈ 8.20 und y ≈ 1.80

zu x = 2.80 gehören: y ≈ 8.34 und y ≈ 1.66

zu x = 3.00 gehören: y ≈ 8.46 und y ≈ 1.54

zu x = 3.20 gehören: y ≈ 8.57 und y ≈ 1.43

zu x = 3.40 gehören: y ≈ 8.66 und y ≈ 1.34

zu x = 3.60 gehören: y ≈ 8.74 und y ≈ 1.26

zu x = 3.80 gehören: y ≈ 8.81 und y ≈ 1.19

zu x = 4.00 gehören: y ≈ 8.87 und y ≈ 1.13

zu x = 4.20 gehören: y ≈ 8.91 und y ≈ 1.09

zu x = 4.40 gehören: y ≈ 8.95 und y ≈ 1.05

zu x = 4.60 gehören: y ≈ 8.97 und y ≈ 1.03

zu x = 4.80 gehören: y ≈ 8.99 und y ≈ 1.01

zu x = 5.00 gehören: y = 9.00 und y = 1.00

zu x = 5.20 gehören: y ≈ 8.99 und y ≈ 1.01

zu x = 5.40 gehören: y ≈ 8.97 und y ≈ 1.03

zu x = 5.60 gehören: y ≈ 8.95 und y ≈ 1.05

zu x = 5.80 gehören: y ≈ 8.91 und y ≈ 1.09

zu x = 6.00 gehören: y ≈ 8.87 und y ≈ 1.13

zu x = 6.20 gehören: y ≈ 8.81 und y ≈ 1.19

zu x = 6.40 gehören: y ≈ 8.74 und y ≈ 1.26

zu x = 6.60 gehören: y ≈ 8.66 und y ≈ 1.34

zu x = 6.80 gehören: y ≈ 8.57 und y ≈ 1.43

zu x = 7.00 gehören: y ≈ 8.46 und y ≈ 1.54

zu x = 7.20 gehören: y ≈ 8.34 und y ≈ 1.66

zu x = 7.40 gehören: y ≈ 8.20 und y ≈ 1.80

zu x = 7.60 gehören: y ≈ 8.03 und y ≈ 1.97

zu x = 7.80 gehören: y ≈ 7.85 und y ≈ 2.15

zu x = 8.00 gehören: y ≈ 7.64 und y ≈ 2.36

zu x = 8.20 gehören: y ≈ 7.40 und y ≈ 2.60

zu x = 8.40 gehören: y ≈ 7.10 und y ≈ 2.90

zu x = 8.60 gehören: y ≈ 6.74 und y ≈ 3.26

zu x = 8.80 gehören: y ≈ 6.24 und y ≈ 3.76

zu x = 9.00 gehört: y = 5.00

Was ist eine Ortskurve?

Als Ortskurve bezeichnet man in der Mathematik jede graphische Darstellung von Lösungspunkten in einem Koordinatensystem. So hat die Kreisgleichung in der Form (x-xₘ)² + (y-yₘ)² = r² verschiedene Lösungen. Die Menge aller Lösungen ergibt die sogenannte Ortskurve. Neben der Kreisgleichung gibt es auch die Geradengleichung, die Parabel, die Hyperbel und viele andere 0rtskurven. Siehe auch Ortskurve ↗

Tipps zur Herleitung der allgemeinen Kreisleistung

Die allgemeine Kreisgleichung kann man über zwei Gedankenschritte selbst herleiten: erst definiert man Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras^[3] eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt des Kreises im Ursprung (0|0) des Koordinatensystem. Dann verschiebt man den Graphen mit Hilfe von einfachen Graphentransformationen in x- und y-Richtung.

Schritt 1: der Satz des Pythagoras

Man denke sich eine Kreis mit dem Radius 4 Zentimeter mit dem Mittelpunkt bei (0|0). Man denkt sich dann einen beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Man verbindet diesen Punkt mit (0|0). Dann zeichnet man von dem Punkt aus eine senkrechte Strecke bis hin zur x-Achse und eine waagrechte Strecke bis zur y-Achse. Dadurch ist ein rechtwinkliges Dreieck entstanden. Der Radius entspricht der Hypotenuse^[5]. Die zwei anderen Seiten sind die Katheten^[6]. Die Länge der waagrechten Kathete entspricht vom Zahlenwert her auch dem x-Wert des Punktes auf der Kreislinie. Und die senkrechte Kathete entspricht dem y-Wert des Punktes auf der Kreislinie. Damit ergibt sich: r²=x²+y². Man kann diese Gleichung noch umstellen nach y und erhält dann y=√[r²-x²] oder in Potenzschreibweise^[6] y=[r²-x²]^0,5.

Schritt 2: den Graphen verschieben

Nun verschiebt man den Graphen der so gefundendenen Kreisgleichung. Eine Verschiebung parallel zur Achse^[7] erreicht man immer, wenn man alle x'se in dem Term einklammer und dann + (Verschiebung nach links) oder - (Verschiebung nach rechts) eine bestimmte Zahl ergänzt: y=√[r²-x²] mit dem Mittelpunkt bei (0|0) wird so y=√[r²-(x-5)²] derselbe Kreis, jetzt aber mit dem Mittelpunkt 5 nach rechts verschoben bei (5|0). Eine Verschiebung parallel zur y-Achse erreicht man immer, indem man zum Funktionsterm die gewünschte Verschiebung dazuaddiert (nach oben) oder abzieht (nach unten)^[8]. So wird abschließend aus y=√[r²-(x-5)²] die Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt bei (5|5) in der allgemeinen Form y=√[r²-(x-5)²]+5.

Gibt es auch eine Kreisfunktion?

Nein, zumindest nicht in dem Sinn, dass der Graph der Funktion einen Kreis in einem zweidimensionalen Koordinatensystem gibt. Das widerspräche der Definition einer Funktion. Bei einer Funktion darf es für jeden x-Wert nur genau einen y-Wert geben. Beim Kreis haben aber die meisten x-Werte zwei y-Wert. Deshalb kann ein Kreis niemals der Graph einer Funktion in einem 2D-Koordinatensystem sein. Man kann aber einen nach oben oder unten geöffneten Halbkreis als Funktion im Sinne der Mathematik definieren. Siehe auch Funktion ↗

Fußnoten

[1] Zu Formeln für den Radius, Durchmesser, Umfang oder die Fläche eines Kreises siehe den Artikel zu Kreisformeln ↗

[2] Die Werte mit den ungefähr-Zeichen sind ab der zweiten Nachkommastelle abgeschnitten, nicht gerundet. Das hängt mit dem hier verwendeten Berechnungsprogramm (bc für Bash) zusammen, hat aber ansonsten keine tiefere Bedeutung.

[3] Der Satz des Pythagoras wird üblicherweise geschrieben als a²+b²=c². Das kleine c steht für die Länge der Hypotenuse, das a und das b für die Längen der beiden Katheten. Siehe auch Satz des Pythagoras ↗

[4] Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Siehe auch Hypotenuse ↗

[5] Die beiden Katheten sind immer die zwei kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Sie sind gleichzeitig auch die zwei Schenkel des rechten Winkels. Siehe mehr unter Kathete ↗

[6] Der Potenzschreibweise liegt die Idee zugrunde, dass die Wurzel aus einem Term rechnerisch dasselbe ist die der Term hoch ein halb gerechnet. Siehe dazu auch hoch ein halb [Wurzelexponent] ↗

[7] Siehe mehr zu dieser Methode zum Verschieben von Graphen unter Graph entlang x-Achse verschieben ↗

[8] Siehe mehr zu dieser Methode zum Verschieben von Graphen unter Graph entlang y-Achse verschieben ↗