Globalen Extrempunkt berechnen
Anleitung
Basiswissen
Ein globaler Extrempunkt ist ein Punkt mit dem höchsten oder niedrigsten y-Wert im gesamten Definitionsbereich. Es genügt nicht, nur über die Ableitungen zu suchen. Man muss vielmehr den gesamten Definitionsbereich betrachten.
1. Lokale Extrempunkte berechnen
- Bestimme die lokalen Extrempunkte über die erste Ableitung:
- (Lokale) Hochpunkte über Analysis ↗
- (Lokale) Tiefpunkte über Analysis ↗
2. Randverhalten untersuchen
- Diese gefundenen lokalen Extrempunkte können - müssen aber nicht - die globalen Extrempunkte sein.
- Um das zuklären, betrachtet man noch die y-Werte an den Rändern des Definitionsbereiches.
- Dazu setzt man die x-Werte der Ränder in f(x) ein.
- Man vergleicht dann die y-Werte der beiden Randpunkt mit dem vorher bestimmten lokalen Extrempunkt.
- Der Punkt mit dem größten y-Wert ist dann der globale Hochpunkt.
- Der Punkt mit dem kleinstens y-Wert ist der globale Tiefpunkt.
- Siehe auch Randverhalten ↗
Beispiele
- Man hat die Funktion f(x)=x^3-x^2 ↗
- Gesucht der globale Hochpunkt im Definitionsbereich D = [-3|3].
- [-3|3] meint: erlaubt sind x-Werte von -3 bis 3.
- Über die 1. Ableitung findet man einen (lokalen) Hochpunkt bei (0|0).
- Man setzt jetzt für x einzeln die beiden Ränder -3 und 3 ein.
- f(-3) = -36 ⭢ das ist niedriger als (0|0).
- f(3) = 18 ⭢ das ist höhere als (0|0).
- Also: (0|0 ist zwar lokaler, aber nicht globaler Hochpunkt.
- Der globale Hochpunkt liegt bei: (3|18)
