Basiswissen

1. Lokale Extrempunkte berechnen

• Bestimme die lokalen Extrempunkte über die erste Ableitung:
  

• (Lokale) Hochpunkte über Analysis ↗
  

• (Lokale) Tiefpunkte über Analysis ↗
  

2. Randverhalten untersuchen

• Diese gefundenen lokalen Extrempunkte können - müssen aber nicht - die globalen Extrempunkte sein.
  

• Um das zuklären, betrachtet man noch die y-Werte an den Rändern des Definitionsbereiches.
  

• Dazu setzt man die x-Werte der Ränder in f(x) ein.
  

• Man vergleicht dann die y-Werte der beiden Randpunkt mit dem vorher bestimmten lokalen Extrempunkt.
  

• Der Punkt mit dem größten y-Wert ist dann der globale Hochpunkt.
  

• Der Punkt mit dem kleinstens y-Wert ist der globale Tiefpunkt.
  

• Siehe auch Randverhalten ↗
  

Beispiele

• Man hat die Funktion f(x)=x^3-x^2 ↗
  

• Gesucht der globale Hochpunkt im Definitionsbereich D = [-3|3].
  

• [-3|3] meint: erlaubt sind x-Werte von -3 bis 3.
  

• Über die 1. Ableitung findet man einen (lokalen) Hochpunkt bei (0|0).
  

• Man setzt jetzt für x einzeln die beiden Ränder -3 und 3 ein.
  

• f(-3) = -36 ⭢ das ist niedriger als (0|0).
  

• f(3) = 18 ⭢ das ist höhere als (0|0).
  

• Also: (0|0 ist zwar lokaler, aber nicht globaler Hochpunkt.
  

• Der globale Hochpunkt liegt bei: (3|18)