Gleichungen lösen über Umformen

x+4 = 20 | -4

Basiswissen

Beispiele

• Das Verfahren dient dazu, die Lösungen einer Gleichung zu finden.
  

• Angenommen man hat eine Gleichung wie zum Beispiel: 4x+2 = 14
  

• Ziel ist es, dass auf der linken Seite nur noch ein x steht.
  

• Das kann man durch sogenannte Äquivalenzumformungen erreichen.
  

• Sie werden oft durch einen senkrechten Strich | rechts notiert.
  

• Mit der Beispielgleichugn sähe das dann so aus:
  

• 4x+2 = 14 | -2
  

• 4x = 12 | :4
  

• x = 3
  

Deutung

• x=3 meint: die 3 ist eine Lösung dieser Gleichung.
  

• Setzt man die 3 für das x ein, dann geht die Gleichung auf:
  

• Probe: 4·3+2 = 14 ✔
  

Äquivalenzumformungen

• Es gibt bestimmte Umformungen, die man immer durchführen darf.
  

• So darf man beide Seiten einer Gleichung immer durch dieselbe Zahl teilen.
  

• Man darf auch von beiden Seiten einer Gleichung immer dieselbe Zahl abziehen.
  

• Auch die Multiplikation und die Addition gehören zu den erlaubten Umformungen.
  

• Nicht erlaubt sind allerdings das Wurzelziehen oder Quadrieren.
  

• Durch die Wahl geeigneter Umformungen lassen sich viele Gleichungen lösen.
  

• Die dazu erlaubten Umformungen heißen => Äquivalenzumformungen
  

Geht das Verfahren immer?

• Nein.
  

• Viele Gleichungsarten lassen sich gut über umformen lösen.
  

• Dazu gehören z. B. die linearen und proportionalen Gleichungen.
  

• Es gibt aber auch Gleichungsarten, die sich so nicht gut lösen lassen.
  

• Das sind zum Beispiel einige kubische oder quartische Gleichungen.
  

• Welches Verfahren am besten geeignet ist, hängt von der Gleichungsart ab.
  

• Mehr dazu unter => Gleichungen lösen nach Arten