Verdoppelt man alle Längen eines Körpers so, dass seine Form sich dabei nicht verändert, dann hat der Körper danach die Vierfache Oberfläche und das achtfache Volumen. Das hatte bereits Galileo Galilei im Jahr 1638 beschrieben.[1] Dem zugrunde liegt ein tieferes Prinzip, das hier kurz erklärt wird.
Ausführlich
Für alle Körper, ist das folgende Gesetz immer wahr: vervielfacht man alle Längen an dem Körper um den Faktor n, dann wird sich die Oberfläche des Körper um den Faktor n² vergrößern und sein Volumen um den Faktor n³.
Zahlenbeispiel
Man hat einen Würfel der Kantenlänge 6 cm. Seine Oberfläche ist dann 216 cm² und sein Volumen 216 cm³. Nun wird die Kantenlänge - das heißt die Länge aller Kanten - um den Faktor 1,5 vergrößert. Die neute Kantenlänge ist dann 9 cm. Hier steht das Ergebnis in einer Übersicht:
Alte Kantenlänge 6 cm ⭢ Oberfläche: 216 cm²
Alte Kantenlänge 6 cm ⭢ Volumen: 216 cm³
Die Kantenlänge wird dann ver-1,5-facht:
Neue Kantenlänge 9 cm ⭢ Oberfläche: 486 cm²
Neue Kantenlänge 9 cm ⭢ Volumen: 729 cm³
Die Kantenlänge wurde ver-1,5-facht. Nach dem Gesetzt muss die Oberfläche dann ver-1,5²-facht worden sein, also ver-2,25-facht. Probe: 216 mal 2,25 = 486. Das passt. Das Volumen muss sich dabei ver-1,5³-facht haben, also ver-3,375-facht haben. Probe: 216 mal 3,375 = 729. Auch das passt. Die Probe hat das Gesetz hier bestätigt.
Praktische Versuche dazu
Die Wirkung des Gesetzes kann man gut mit Knete nachstellen. Dabei kann man das eher schwer messbare Volumen auch durch die leicht messbare Masse nachstellen. Ein Klassiker ist: man hat eine Knetkugel mit 2 cm Durchmesser geformt. Wenn diese 4,2 Gramm wiegt, wie viel Gramm Knete benötigt man dann für eine Kugel mit einem Durchmesser von 4 cm? Die Antwort ist für jede Person, die den Versuch praktisch ausführt spürbar überraschend. Hier steht eine kleine Auswahl solcher praktischer Versuch:
Im englischen Sprachraum ist der Begriff square-cube law fest etabliert und hat dort zum Beispiel auch eigene Einträge in Lexika. Im Deutschen gibt es (noch) keine passende kurze Entsprechung. Sinngesmäß trifft die Übersetzung Gesetz vom Größen- und Flächenwachstum aber gut zu.
Bedeutung in der Biologie
Pinguine derselben Arten werden umso größer, je näher ihre Heimt an einem der Pole liegt, je weiter weg sie also vom Äquator leben. Je größer die Körper, desto besser können die Tiere die Wärme im inneren halten. Dieses Prinzip beobachtet man bei vielen Tierarten. Der Effekt heißt in der Biologie Bergmannsche Regel ↗
Fußnoten
[1] Das Gesetz beschrieb bereits Galileo Galilei zur Zeit des Dreißigjährigen Krieges: "Die Geometrie lehrt, dass ein grösseres Verhältniss zwischen den Massen ähnlicher Körper, als zwischen deren Oberflächen besteht." Galilei führt das anschaulich und mit einem Rechenbeispiel anhand eines Würfels detailliert aus. In: Galileo Galilei. Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Herausgegeben in drei Bänden und übersetzt von Arthur von Oettingen, in Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 1 (Erster und zweiter Tag), Nr. 11, Engelmann, Leipzig 1890. Dort die Seite 79.
[2] Eine interessante Konsequenz, die Galilei aus dem hier erklärten Prinzip ableitet ist, dass bei einer gedanklichen Vergrößerung von Tieren unter Beibehaltung ihrer Form (zentrische Streckung, Beibehaltung der Seitenverhältnisse), die Massen sehr viel schneller zunehmen als die Längen und Flächen. Das hätte Folgen: "Wer also bei einem Riesen die gewöhnlichen Verhältnisse beibehaltenwollte, müsste entweder festere Materie finden, oder er müsste verzichten auf die Festigkeit, und den Riesen schwächer als Menschen von gewöhnlicher Statur werden lassen ; bei übermässiger Grösse müsste er durch das Eigengewicht zerdrückt werden und fallen. Im Gegentheil finden wir, dass bei Verminderung des Körpers die Kräfte Flg. 27. nicht in demselben Maasse abnehmen, ja es findet sogar ein relatives Wachsthum der Stärke statt. Daher glaube ich, würde ein kleiner Hund zwei oder drei andere von gleicher Grösse tragen können, während ein Pferd wohl kaum im Stande wäre, auch nur ein einziges Pferd auf seinem Rücken zu tragen." Die erwähnte Figur 27 zeigt einen kleinen Knochen und einen großen Knochen, beide mit gleicher Form. In: Galileo Galilei. Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Herausgegeben in drei Bänden und übersetzt von Arthur von Oettingen, in Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 1 (Erster und zweiter Tag), Nr. 11, Engelmann, Leipzig 1890. Dort die Seite 109.
