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Ebenenschar


Vektorrechnung


Definition


Als Ebenenschar, mit dem Ebenenbüschel und dem Ebenenbündel als Sonderfälle, bezeichnet man eine Menge von Ebenen, die alle dieselbe Ebenengleichung haben, aber in der Gleichung gibt es einen sogenannten freien Parameter oder Scharparameter. Was das anschaulich bedeutet, ist hier erklärt.

Was ist eine Ebene in der Vektorrechnung?


Man stelle sich ein ganz gerades und glattes Stück dünner Pappe vor: das ist ein Teil einer Ebene. Stellt man sich diese dünne Pappe als unendlich groß in alle Richtunge ausgedehnt vor, hat man ein geistiges Bild einer Ebene vor sich. Eine solche Ebene kann irgendwo im Raum liegen, vor alle in einem Koordinatensystem gedacht. Man kann die Ebenen drehen, verschieben oder kippen. Siehe auch 3D-Ebene ↗

Was ist eine Ebenengleichung?


Eine Ebene in Parameterform, Normalenform oder Koordinatenform: das sind die drei wichtigsten Ebenengleichungen in der Vektorrechnung. Sie haben eine Gemeinsmakeit. In jede dieser drei Gleichungen kann man einen Punkt (x,y,z) oder einen Ortsvektor hin zu einem Punkt im Raum einsetzen. Rechnet man nach dem Einsetzen des Punktes oder Ortsvektors beide Seiten der Ebenengleichung aus, und kommt dann auf beiden Seiten dasselbe heraus, dann lag der eingesetzte Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht. So kann man mit Gleichungen sozusagen alle Punkte definieren, die zur Ebene gehören. Siehe mehr dazu unter Ebenengleichungen ↗

Was ist eine Ebenengleichung mit Parameter?


Die Ebenengleichung legt sowohl wie, wie gedreht, gekippt oder verschoben die Ebene im Koordinatensystem ist und auch wo genau sie liegt. Man sagt auch, die Ebene ist damit eindeutig von ihrer Lage und ihrer Orientierung her bestimmt. Innerhalb der Ebenengleichungen gibt es Buchstaben und Zahlen, die eine anschauliche Bedeutung haben: der Stützvektor in der Parameterform etwa definiert einen Punkt, durch den die Ebene auf jeden Fall gehen muss. Der Normalenvektor in einer der Normalenformen legt fest, wie gekippt im Raum die Ebene ist. Setzt man nun an einer solchen Stelle in der Gleichung einen Platzhalter ein, so ist plötzlich nicht mehr genau festgelegt, durch welchen Punkt die Ebene gehen muss oder wie sie im Raum gekippt ist. Man sagt jetzt, dass die Ebene nicht mehr eindeutig festgelegt ist, sie hat dann Freiheitsgrade. Anders gedacht kann man sagen, dass die Gleichung dann nicht mehr genau eine Ebene eindeutig festlegt, sondern mehrere Ebene, die sich in Lage oder Orientierung unterscheiden. Derjenige Platzhalter in der Ebenengleichung, der das bewirkt ist der Parameter. Meist wird er als lateinischer Kleinbuchstabe geschrieben, zum Beispiel ein kleines a oder ein kleines k. Ganz allgemein spricht man von einem Scharparameter ↗

Ebenenbüschel (gemeinsame Gerade)


Das ist ein Sonderfall einer Ebenenschar: bei einem Ebenenbüschel betrachtet man alle Ebenen, die durch eine gemeinsame Gerade gehen. Die Seiten eines aufgeblätterten Buches sind eine gute Annäherung einer Ebenenschar: alle Buchseiten gehen (in etwa) durch eine gemeinsame gerade Linie im Buchrücken. Siehe auch Ebenenbüschel ↗

Ebenenbündel (gemeinsamer Punkt)


Das ist ein weiterer Sonderfall einer Ebenenschar: gehen alle Ebenen der Schar durch einen gemeinsamen Punkt, so spricht man von einem Ebenenbündel ↗

Fußnoten