Definition

Adjungiert oder auch transponiert-konjugiert nennt man eine Matrix, „die aus einer (n × n)-Matrix A = (aᵢⱼ) über ℝ oder ℂ durch Vertauschen von Zeilen und Spalten und anschließende komplexe Konjugation entstandene (n × n)-Matrix^[1]“. Diese Definition ist hier kurz vorgestellt.

Basiswissen

Das Wort adjungierte Matrix (nicht zu verwechseln mit der adjunkten Matrix) gilt nur für komplexe Matrizen (Elemente sind komplexe Zahlen). Dabei können auch reell geschrieben Zahlen als komplex geschrieben werden. So kann man die reelle Darstellung der 4 umwandeln in die komplexe Darstellung 4+0i. Die adjungierte Matrix, zum Beispiel geschrieben als A*^[1] oder als Aᴴ^[3] ist diejenige komplexe Matrix, die aus einer gegebenen Matrix durch Transponierung und Konjugation entsteht. Dabei ist es egal, ob man er transponiert und dann konjugiert oder umgekehrt. Die komplexe Zahl 4+2i ist konjugiert 4-2i. Man ändert vom Imaginärteil lediglich das Vorzeichen. Siehe auch konjugiert komplexe Zahl ↗

Beispiel für eine adjungierte Matrix

Gegeben ist eine Matrix mit komplexen Elementen. Die komplex dargestellte Zahl 1+0i ist gleichzeitig auch reell, da der Imaginärteil der Zahl 0 ist:

1+0i 2-1i
0+3i 4-2i
5+1i 0-6i

Nun macht man die erste Spalte (oben nach unten) zur neuen ersten Zeile (links nach rechts). Dann geht man genauso so auch für die zweite Zeile vor. Diesen Vorgang nennt man Transponierung:

1+0i 0+3i 5+1i
2-1i 4-2i 0-6i

Nun wird die Matrix noch konjugieren. Das heißt, dass man für jedes einzelne Element die konjugiert komplexe Zahl bildet. Das geschieht dadurch, dass man für jeden Imaginärteil das Vorzeichen ändert, ihn also negiert:

1-0i 0-3i 5-1i
2+1i 4+2i 0+6i

Interessant ist, dass bei dieser Adjungierung reelle Zahlen zwar ihren Platz innerhalb der Matrix ändern (durch die Transponierung), nicht aber ihren Wert. Aus der reellen Zahl 1+0i wurde die konjugiert komplexe Zahl 1-0i, die beide reell auch einfach als 1 geschrieben werden können.

Fußnoten

[1] Adjungierte Matrix. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 1. A bis Eif; 2000; ISBN: 3-8274-0303-0. Seite 27. Die Definition ist auf quadratische Matrizen beschränkt, was durch die Bezeichnung n x n verdeutlicht wird. In anderen Quellen [2][3] wird diese Einschränkung nicht gemacht. Auch sind die Zahlen-Beispiele in anderen Lehrwerken nicht quadratische Matrizen beschränkt, sondern lassen auch Matrizen mit unterschiedler Zeilen- wie Spaltenzahl zu. Möglicherweise handelt es sich hier im Spektrum Lexikon der Mathematik um einen Druckfehler.

[2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort die Seite 56.

[3] Adjungierte Matrix. In: Wikipedia. Abgerufen am 22. August 2023. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Adjungierte_Matrix