LGS mit drei Gleichungen lösen


Lösungstipps


Basiswissen


Ein Verfahren das immer funktioniert ist der sogenannte Gauß-Algorithmus. Hier wird kurz der Vorteil gegenüber dem Einsetzung-, Gleichsetzung- oder Additionsverfahren erklärt.

Klassisch: ohne Gauß-Algorithmus


Man kann immer aus zwei der drei Gleichungen, zum Beispiel I und II eine der drei Unbekannten eliminieren. Man nutzt dazu das Einsetzung-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren. Dann eliminiert man aus den Gleichungen II und III dieselbe Unbekannte auf die gleiche Weise. So entstehen zwei neue Gleichungen, die aber nur noch zwei Unbekannte haben. Diese kann man dann klassisch lösen über => LGS mit zwei Gleichungen lösen

Nachteile der klassischen Lösung


Man verliert schnell den Überblick, man hat keinen Standardablauf und es entstehen oft schwer handhabbare Zahlen (Brüche, Dezimalzahlen). Das Lösungsverfahren ist nicht programmierbar und erfordert viel Übung und zusätzlich Konzentration.

Der Gauß-Algorithmus


Der sogenannte Gauß- Algorithmus basiert auf dem klassischen Lösungsverfahren und macht daraus eine Schritt-für-Schritt-Anleitung. Er ist das bevorzugte Standardverfahren ab drei Unbekannten. Der Algorithmus ist leicht zu lernen und kann jedes LGS mit drei Unbekannten lösen. Lies mehr unter => Gauß-Algorithmus

Was bedeutet die Lösung anschaulich?


Für drei Gleichungen mit drei Unbekannten kann man sich die Lösungmenge in einem 3D-Koordianatensystem mit x-, y- und z-Achse anschaulich vorstellen, man sagt auch: visualisieren. Jede einzelne der drei Gleichungen hat unendlich viele Kombinationen von x-, y- und z-Zahlen mit denen man diese Gleichung lösen kann. Ein solcher 3er-Päckchen von Zahlen heißt auch Tripel. In einem xyz-Koordinatensystem kann man jedes Tripel als Punkt im Raum darstellen. Für jede der drei Gleichungen gilt: alle Tripel zusammen in einer xyz-Koordinatensystem dargestellt ergibt immer eine Ebene im Raum. Man hat also drei Ebenen im Raum. Hat das lineare Gleichungssystem dieser drei Gleichungen genau eine Lösung, dann heißt es, dass die drei entsprechenden Ebenen genau einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Diese Interpretation erinnert an die graphische Deutung der Lösungs von linearen Gleichungsystemen mit zwei Unbekannten, nur erweitert um eine Raumdimension. Für den zweidimensionalen Fall siehe auch unter => LGS graphisch interpretieren