Zyklotron berechnen
Physik
Basiswissen
Ein Zyklotron beschleunigt schwere Teilchen mit einer elelektrischen Ladung durch wiederholtes Durchlaufen fast kreisförmiger Bahnen. Dabei erreichen die Teilchen oft sehr hohe Geschwindigkeiten. Hier stehen die grundlegenden Formeln dazu.
Vorab
- Die Rechnung hier ignoriert relativistische Effekte.
- Diese treten bei sehr hohen Geschwindigkeiten auf.
- Hoch meint: ab etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit.
- Hier bleiben die Geschwindigkeiten deutlich darunter.
Beispieldaten
- Größenordnungen wie erstes Zyklotron aus dem Jahr 1932:
- Beschleunigtes Teilchen: einfach positiv gelades H₂-Molekül.
- Ein solches Molekül heißt auch Diwasserstoff-Kation ↗
- Gerundete Masse m dieses Kations: 2 mal 1,67 mal 10 hoch -27 kg
- Gerundete Ladung q dieses Kations: 1,60 mal 10 hoch -19 Coulomb
- Magnetische Flussdichte B in den Duanten: 0,5 Tesla
- Beschleunigungsspannung U im Spalt: 300 Volt
Kinetische Energie pro Spaltdurchgang
- Im Spalt wirkt auf das H₂-Ion das elektrische Feld.
- Es wird angenommen, dass das elektrische Feld im Spalt ...
- während des Durchflug eine konstante Stärke hat.
- Durch dieses Feld wird das Wasserstoffion beschleunigt.
- Die kinetische Energie erhöht sich mit jedem Spaltdurchgäng.
- Der Zuwachs ist dabei bei jedem Durchgang immer derselbe.
- Der Zuwachs an kinetischer Energie ist pro Durchgang: U mal q.
- q ist dabei die Ladung des beschleunigten Teilchens.
- U ist die Beschleunigungsspannung im Spalt.
- Die kinetische Energie pro Durchgang ist mit den ...
- Beispielwerten: etwa 1,00 mal 10 hoch -24 Joule
Kinetische Energie nach n Spaltdurchgängen
- Die kinetische Energie wächst immer um denselben Betrag.
- Nach n Durchgängen ist Ekinn = n mal U mal q
- U = Spannung am Spalt
- q = Teilchenladung
Geschwindigkeit nach n Spaltdurchgängen
- Angenommen wird, dass das Teilchen am Anfang ruhte.
- Die Geschwindigkeit vn nach n Durchgängen kann direkt ...
- über die kinetische Energie nach n Durchängen berechnet werden:
- Ekinn = 0,5·m·(vn)² [vn = Geschwindigkeit nach n Durchgängen]
- Umstellen nach vn gibt: vn = Wurzel[2·n·U·q/m]
- vn = Geschwindigkeit nach n Durchgängen
- n = Anzahl der Durchgänge
- U = Spannung am Spalt
- q = Teilchenladung
- m = Teilchenmasse
Bahnradius nach n Spaltdurchgängen
- In den Duanten bleibt die kinetische Energie des Teilchens gleich.
- Es wird nicht beschleunigt, aber durch Lorentzkraft abgelenkt.
- Die Ablenkung ist dabei so, dass es eine Kreisbahn einnimmt.
- Mit jedem Spaltdurchgang wird der Radius der Kreisbahn größer.
- Das kommt daher, dass mit der Geschwindigkeit auch die Fliehkraft wächst.
- Die Fliehkraft wirkt nach außen, nach innen wirkt die Zentripetalkraft.
- Die Zentripetalkraft ist hier immer die Lorentzkraft. Man setzt gleich:
- B·q·v = m·v²/r, umstellen nach dem Radius r gibt:
- r gibt: r = [m mal Wurzel aus (2·n·U·q/m)]/(B·q)
- r = Radius des Halbkreises im Duanten
- n = Anzahl der Spaltdurchgänge
- U = Spannung am Spalt
- q = Teilchenladung
- m = Teilchenmasse
- B = Magnetischer Fluss in den Duanten
Frequenz
- Die Zyklotronfrequenz f meint, wie viele ganze ...
- Kreisbahnen das Teilchen pro Sekunde durchfliegt.
- f = q mal B durch (2 mal pi mal m)
- q = Teilchenladung
- B = magnetischer Fluss
- Pi = Kreiszahl
- m = Teilchenmasse
Umlaufdauer
- Die Umlaufdauer T meint, wie viele Sekunden ...
- das Teilchen für eine ganze Kreisbahn braucht.
- T ist gleich dem Kehrwert der Zyklotronfrequenz.
- Als Formel: T = 1/f
Rechenbeispiele
- 01. Durchgang: v etwa 170000 m/s und r etwa 0,7 cm
- 02. Durchgang: v etwa 240000 m/s und r etwa 1,0 cm
- 03. Durchgang: v etwa 293000 m/s und r etwa 1,2 cm
- 04. Durchgang: v etwa 339000 m/s und r etwa 1,4 cm
- 05. Durchgang: v etwa 379000 m/s und r etwa 1,6 cm
- 06. Durchgang: v etwa 415000 m/s und r etwa 1,7 cm
- 07. Durchgang: v etwa 449000 m/s und r etwa 1,9 cm
- 08. Durchgang: v etwa 480000 m/s und r etwa 2,0 cm
- 09. Durchgang: v etwa 509000 m/s und r etwa 2,1 cm
- 10. Durchgang: v etwa 536000 m/s und r etwa 2 cm
- 11. Durchgang: v etwa 562000 m/s und r etwa 2 cm
- 12. Durchgang: v etwa 587000 m/s und r etwa 2 cm
- 13. Durchgang: v etwa 611000 m/s und r etwa 2 cm
- 14. Durchgang: v etwa 634000 m/s und r etwa 2 cm
- 15. Durchgang: v etwa 657000 m/s und r etwa 2 cm
- 16. Durchgang: v etwa 678000 m/s und r etwa 2 cm
- 17. Durchgang: v etwa 699000 m/s und r etwa 2 cm
- 18. Durchgang: v etwa 719000 m/s und r etwa 3 cm
- 19. Durchgang: v etwa 739000 m/s und r etwa 3 cm
- 20. Durchgang: v etwa 758000 m/s und r etwa 3 cm
- 21. Durchgang: v etwa 777000 m/s und r etwa 3 cm
- 22. Durchgang: v etwa 795000 m/s und r etwa 3 cm
- 23. Durchgang: v etwa 813000 m/s und r etwa 3 cm
- 24. Durchgang: v etwa 831000 m/s und r etwa 3 cm
- 25. Durchgang: v etwa 848000 m/s und r etwa 3 cm
- 26. Durchgang: v etwa 864000 m/s und r etwa 3 cm
- 27. Durchgang: v etwa 881000 m/s und r etwa 3 cm
- 28. Durchgang: v etwa 897000 m/s und r etwa 3 cm
- 29. Durchgang: v etwa 913000 m/s und r etwa 3 cm
- 30. Durchgang: v etwa 929000 m/s und r etwa 3 cm
- 31. Durchgang: v etwa 944000 m/s und r etwa 3 cm
- 32. Durchgang: v etwa 959000 m/s und r etwa 4 cm
- 33. Durchgang: v etwa 974000 m/s und r etwa 4 cm
- 34. Durchgang: v etwa 989000 m/s und r etwa 4 cm
- 35. Durchgang: v etwa 100000 m/s und r etwa 4 cm
- 36. Durchgang: v etwa 1017000 m/s und r etwa 4 cm
- 37. Durchgang: v etwa 1031000 m/s und r etwa 4 cm
- 38. Durchgang: v etwa 1045000 m/s und r etwa 4 cm
- 39. Durchgang: v etwa 1059000 m/s und r etwa 4 cm
- 40. Durchgang: v etwa 1072000 m/s und r etwa 4 cm
- 41. Durchgang: v etwa 1086000 m/s und r etwa 4 cm
- 42. Durchgang: v etwa 1099000 m/s und r etwa 4 cm
- 43. Durchgang: v etwa 1111000 m/s und r etwa 4 cm
- 44. Durchgang: v etwa 1125000 m/s und r etwa 4 cm
- 45. Durchgang: v etwa 1137000 m/s und r etwa 4 cm
- 46. Durchgang: v etwa 1150000 m/s und r etwa 4 cm
- 47. Durchgang: v etwa 1162000 m/s und r etwa 4 cm
- 48. Durchgang: v etwa 1175000 m/s und r etwa 4 cm
- 49. Durchgang: v etwa 1187000 m/s und r etwa 5 cm
- 50. Durchgang: v etwa 1199000 m/s und r etwa 5 cm
- 51. Durchgang: v etwa 1210000 m/s und r etwa 5 cm
- 52. Durchgang: v etwa 1223000 m/s und r etwa 5 cm
- 53. Durchgang: v etwa 1234000 m/s und r etwa 5 cm
- 54. Durchgang: v etwa 1246000 m/s und r etwa 5 cm
- 55. Durchgang: v etwa 1257000 m/s und r etwa 5 cm
- 56. Durchgang: v etwa 1269000 m/s und r etwa 5 cm
- 57. Durchgang: v etwa 1280000 m/s und r etwa 5 cm
- 58. Durchgang: v etwa 1291000 m/s und r etwa 5 cm
- 59. Durchgang: v etwa 1302000 m/s und r etwa 5 cm
- 60. Durchgang: v etwa 1313000 m/s und r etwa 5 cm
- 61. Durchgang: v etwa 1324000 m/s und r etwa 5 cm
- 62. Durchgang: v etwa 1335000 m/s und r etwa 5 cm
- 63. Durchgang: v etwa 1346000 m/s und r etwa 5 cm
- 64. Durchgang: v etwa 1356000 m/s und r etwa 5 cm
- 65. Durchgang: v etwa 1367000 m/s und r etwa 5 cm
- 66. Durchgang: v etwa 1377000 m/s und r etwa 5 cm
- 67. Durchgang: v etwa 1388000 m/s und r etwa 5 cm
- 68. Durchgang: v etwa 1398000 m/s und r etwa 5 cm
- 69. Durchgang: v etwa 1408000 m/s und r etwa 5 cm
- 70. Durchgang: v etwa 1418000 m/s und r etwa 5 cm
- 71. Durchgang: v etwa 1429000 m/s und r etwa 6 cm
- 72. Durchgang: v etwa 1439000 m/s und r etwa 6 cm
- 73. Durchgang: v etwa 1449000 m/s und r etwa 6 cm
- 74. Durchgang: v etwa 1458000 m/s und r etwa 6 cm
- 75. Durchgang: v etwa 1468000 m/s und r etwa 6 cm
- 76. Durchgang: v etwa 1478000 m/s und r etwa 6 cm
- 77. Durchgang: v etwa 1488000 m/s und r etwa 6 cm
- 78. Durchgang: v etwa 1497000 m/s und r etwa 6 cm
- 79. Durchgang: v etwa 1507000 m/s und r etwa 6 cm
- 80. Durchgang: v etwa 1516000 m/s und r etwa 6 cm
- 81. Durchgang: v etwa 1526000 m/s und r etwa 6 cm
- 82. Durchgang: v etwa 1535000 m/s und r etwa 6 cm
- 83. Durchgang: v etwa 1545000 m/s und r etwa 6 cm
- 84. Durchgang: v etwa 1554000 m/s und r etwa 6 cm
- 85. Durchgang: v etwa 1563000 m/s und r etwa 6 cm
- 86. Durchgang: v etwa 1572000 m/s und r etwa 6 cm
- 87. Durchgang: v etwa 1581000 m/s und r etwa 6 cm
- 88. Durchgang: v etwa 1590000 m/s und r etwa 6 cm
- 89. Durchgang: v etwa 1599000 m/s und r etwa 6 cm
- 90. Durchgang: v etwa 1608000 m/s und r etwa 6 cm
- 91. Durchgang: v etwa 1617000 m/s und r etwa 6 cm
- 92. Durchgang: v etwa 1626000 m/s und r etwa 6 cm
- 93. Durchgang: v etwa 1635000 m/s und r etwa 6 cm
- 94. Durchgang: v etwa 1644000 m/s und r etwa 6 cm
- 95. Durchgang: v etwa 1652000 m/s und r etwa 6 cm
- 96. Durchgang: v etwa 1661000 m/s und r etwa 6 cm
- 97. Durchgang: v etwa 1670000 m/s und r etwa 7 cm
- 98. Durchgang: v etwa 1678000 m/s und r etwa 7 cm
- 99. Durchgang: v etwa 1687000 m/s und r etwa 7 cm
- 100. Durchgang: v etwa 1695000 m/s und r etwa 7 cm
Anmerkung
- Die Radien r wachsen mit jedem Durchgang.
- Durch wurde immer auf die 1. Nachkommastelle gerundet.
- Daher sieht man in den Zahlen nicht jeden Wachstumsschritt.