Basiswissen

Zweidimensional nennt man Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen. Ihre Graphen sind oft Flächen in einem 3D-Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse. Sie zu berechnen heißt, ihre x- und y-Werte zu rechnerisch zu bestimmen. Das Vorgehen ähnelt stark dem eindimensionaler Funktion mit f(x). Das Vorgehen ist hier kurz erläutert.

1. Schritt

Man bildet die partielle Ableitung erster Ordnung nach x - sie heißt hier: fx

Man bildet die parteille Ableitung erster Ordnung nach y - sie heißt hier: fy

Man bildet die partielle Ableitung zweiter Ordnung nach x - sie heißt hier: fxx

Man bildet die parteille Ableitung zweiter Ordnung nach y - sie heißt hier: fyy

2. Schritt

Notwendige Bedingung:

Man setzt gleich 0: die partielle Ableitung erster Ordnung nach x

Man setzt gleich 0: die partielle Ableitung erster Ordnung nach y

Man erhält dadurch ein Gleichungssystem mit x und y als Unbekannte.

Man löst das Gleichungssystem (LGS) und hat für x und y je einen Zahlenwert.

Die erhaltenen x-y-Zahlenpaare sind die x- und y-Werte möglicher Hochpunkte.

3. Schritt

Hinreichende Bedingung:

Man setzt die bisher gefundenen Werte ein in: fxx·fyy-f²xy

Ist das Ergebnis größer als 0, liegt sicher ein Extrempunkt vor:

4. Schritt

Extrempunktart bestimmen:

Man setzt dann die möglichen x- und y-Werte ein in fxx:

Ist das Ergebnis < 0 ⭢ relativer Hochpunkt

Ist das Ergebnis > 0 ⭢ relativer Tiefpunkt

Das Gradientenverfahren

Speziell zum Auffinden von lokalen Tiefpunkten gibt es auch ein Verfahren, bei dem man ausgehend von einem Punkt immer den steilsten Abstieg sucht, eine bestimmte Schrittweite in diese Richtung geht und dann von diesem neu gewonnen Punkt aus immer weiter so fortschreitet. Siehe mehr unter Gradientenverfahren ↗

Fußnoten

Sinngemäß nach: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Verlag Springer Vieweg. Siehe unter Der Papula ↗