Zufallsfunktion
Stochastik
Definition
Eine Funktion, die jedem Ergebnis ω, auch Elementarereignis genannt, des Ergebnisraums Ω genau eine Zahl aus der Menge der reellen Zahlen zuordnet[1][2], ist eine Zufallsfunktion, auch Zufallsvariable oder Zufallsgröße genannt[6]. Das ist hier kurz mit einem Beispiel erklärt.
Beispiel Zahlenwürfel
Würfel man mit einem normalen Spielwürfel, so kann die Augenzahl X Werte von 1 bis 6 annehmen. Die Augenzahl X nennt man dann die Zufallsgröße oder Zufallsvariable[1, Seite 315].
Beispiel Farbwürfel
Angenommen man hat einen Würfel mit insgesamt sechs verschiedenen Farben. Jede der Farben kann als Ergebnis des Zufallsexperimentes "einmal würfeln" das Ergebnis sein. Man könnte nun jedem der Farben einen festen Zahlenwert - zum Beispiel als Gewinn bei einem Glücksspiel zuordnen. Diese Zuordnung ist dann eine Zufallsfunktion:
- Farbe gelb ⭢ 0 Euro
- Farbe grün ⭢ 0 Euro
- Farbe blau ⭢ 0 Euro
- Farbe lila ⭢ 2 Euro
- Farbe grau ⭢ 4 Euro
- Farbe rosa ⭢ 6 Euro
Beispiel zweimal würfeln
Man würfelt zwei mal mit dem Würfel. Die Ergebnisse sind dann die Kombinationen der zwei Einzelwürfe, zum Beispiel (1,1) oder (3,4) oder (4,6). Man kann nun jedem dieser möglichen Ergebnisse zum Beispiel die Summe der geworfenen Augen zuordnen. Dann wäre diese Zuordnung hier die Zufallsfunktion[2]:
- (1,1) ⭢ 2
- (1,2) ⭢ 3
- (1,3) ⭢ 4
- (1,4) ⭢ 5
- (1,5) ⭢ 6
- (1,6) ⭢ 7
- (2,1) ⭢ 3
- (2,2) ⭢ 4
- (2,3) ⭢ 5
- (2,4) ⭢ 6
- (2,5) ⭢ 7
- (2,6) ⭢ 8
- (3,1) ⭢ 4
- (3,2) ⭢ 5
- (3,3) ⭢ 6
- (3,4) ⭢ 7
- (3,5) ⭢ 8
- (3,6) ⭢ 9
- (4,1) ⭢ 5
- (4,2) ⭢ 6
- (4,3) ⭢ 7
- (4,4) ⭢ 8
- (4,5) ⭢ 9
- (4,6) ⭢ 10
- (5,1) ⭢ 6
- (5,2) ⭢ 7
- (5,3) ⭢ 8
- (5,4) ⭢ 9
- (5,5) ⭢ 10
- (5,6) ⭢ 11
- (6,1) ⭢ 7
- (6,2) ⭢ 8
- (6,3) ⭢ 9
- (6,4) ⭢ 10
- (6,5) ⭢ 11
- (6,6) ⭢ 12
Erklärung
Die Zufallsfunktion ordnet den einzelnen Ergebnissen eines Zufallsexperimentes also nicht eine Wahrscheinlichkeit zu. Das macht die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Zufallsfunktion ordnet jedem Ergebnis einen Zahlenwert zu, der im konkreten Sachzusammenhang einen Sinn ergeben kann. Zur Zurodnung von Wahrscheinlichkeiten siehe unter Wahrscheinlichkeitsverteilung ↗
Name einer Zufallsfunktion
Eine Zufallsfunktion, auch Zufallsvariable genannt, wird als Ganzes meist mit einem großen lateinischen Buchstaben wie X, Y oder Z benannt, die Werte jedoch meist mit kleinen lateinischen Buchstaben[5][7].
Größe oder Variable?
Verschiedene Bücher verwenden hier verschiedene Worte. Von einer Zufallsgröße oder Zufallsvariablen sprechen das Lehrbuch Papula[1] sowie das Spektrum Lexikon der Mathematik[4]. Ausschließlich von einer Zufallsvariablen spricht das Stastik Lehrbuch für Dummies[7], ausschließlich von einer Zufallsgröße das Finale Prüfungstraining[3]. Alle Definitionen stimmen sinngemäß überein.
Fußnoten
- [1] "Unter einer Zufallsgröße oder Zufallsvariablen X verstehen wir eine Funktion, die jedem Elementarereignis ω aus der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments genau eine reelle Zahl X(ω) zuordnet".In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Dort die Seite 317.
- [2] "Eine Zufallsvariable ordnet den möglichen Ausgängen eines Zufallsexperiments eine eindeutige Zahl zu." In: Thomas Krickhahn: Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. Für Dummies. Wiley-VCH Verlag. 2. Nachdruck von 2015. ISBN: 978-3-527-70982-3. Seite 177.
- [3] Finale Prüfungstraining. Zentralabitur Mathematik. Nordrhein Westfalen. Georg Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-7426-2215-0. Seite 97.
- [4] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Seite 465.
- [5] "Zufallsvariablen werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben, ihre Werte dagegen mit kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet." In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 3. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-11923-2. Verlag Springer Vieweg. Seite 317. Siehe auch Der Papula ↗
- [6] Grundstätzlich kann eine Funktion eine Zuordnung zwischen Elementen irgeneiner Art herstellen, es müssen keine Zahlen sein. Es stellt sich daher die Frage, ob die Beschränkung der Definition einer Zufallsgröße auf Werte in Form von Zahlen grundlegend wichtig ist, oder hier nur zufällig gewählt wurde. Es ist ja beispielsweise denkbar, dass man beim Würfeln nicht Zahlen, sondern geworfene Farben betrachtet. Die Frage muss hier als ungeklärt stehen bleiben.
- [7] "Zufallsvariablen werden vo Statistikern oft mit Großbuchstaben aus dem Alphabet gekennzeichnet, zum Beispiel als X, Y oder Z. Die konkreten Ausprägungen, die eine Zufallsvariable annehmen kann, werden hingegen oftmals mit Kleinbuchstaben aus dem Alphabet gekennzeichnet." In: Thomas Krickhahn: Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. Für Dummies. Wiley-VCH Verlag. 2. Nachdruck von 2015. ISBN: 978-3-527-70982-3. Seite 177.