Schwacher Extrempunkt
Definition
Basiswissen
Für die Schulmathematik eher unüblich: ein Hochpunkt darf in seiner direkten Nachbarschaft weitere gleich hohe Punkt haben und ein Tiefpunkt darf in seiner Nachbarschaft weitere gleich tiefe Punkte haben. Das führt aber zu kontraintuitiven Folgen, was hier kurz erklärt ist.
Die Epsilon-Umgebung
Die exakte Definition eines Hochpunktes verwendet das Konzept der sogenannten Epsilon-Umgebung. Anschaulich ist die Epsilon-Umgebung die direkte Nachbarschaft eines Punktes: ein Intervall links und rechts des betrachteten Punktes, das beliebig klein - aber nicht 0 und nicht negativ - sein darf. Ein schwacher Extrempunkt darf in seiner Epsilon-Umgebung weitere gleich hohe oder gleich tiefe Punkte haben[1][2][3]. Siehe auch unter Epilson-Umgebung (externer Link)
Warum wird das von der Schulmathematik nicht so gesehen?
Dass alle Punkte einer konstanten Funktion, etwa von f(x) = 4, gleichzeitig Hoch- und auch Tiefpunkte sind. Dass die Definition eines Extrempunktes im Sinne eines schwachen Extrempunktes in der Schulmathematik unüblich ist, erkennt man daran, dass für sie die hinreichende Bedingung für Extrempunkte aus der Schulmathematik nicht erfüllt sind: zwar wäre die erste Ableitung gleich 0, aber die zweite Ableitung wäre auch gleich 0, das ist aber nach der schulmathematischen Handhabung für Extrempunkte nicht erlaubt. Daher kann im Umkehrschluss gefolgert werden, dass die Schulmathematik Extrempunkte nur als starke Extrempunkte definiert. Lies dazu unter starker Extrempunkt ↗
Fußnoten
◦ [1] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief als andere Punkte: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7
◦ [2] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief als andere Punkte: Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com/Extremum.html (Dez 2020).
◦ [3] Der Extrempunkt ist gleich hoch/tief als andere Punkte: Bronstein, Semendjawew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch..