Basiswissen

In der Quantenphysik werden viele Vorgänge und vor allem auch das Wesen der Materie so gerechnet, als lägen allen Phänomen unsichtbare wellenhafte Vorgänge zugrunde. Wo die gedachten Wellen eine bestimmte Frequenz oder Amplitude haben, dort steigt oder sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass wir ein Teilchen beobachten (messen) können. Die Schrödingergleichung gibt an, wie die Gleichungen für diese gedachten Wellen aussehen müssen, dass sie zu den Mess- und Beobachtungsergebnissen passen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Links die Schrödingergleichung in ihrer zeitunabhängigen Form, rechts in zeitabhängiger Form. Das kleine i steht für die imaginäre Einheit. Das h-quer ħ ist die reduzierte Planckkonstante. ∂/∂t ist die partielle Ableitung nach der Zeit. Das griechische Psi Ψ steht für die Zustandsoder Wellenfunktion und Ĥ (H-Dach) ist der Hamiltonoperator.☛

Wie sieht die Schrödingergleichung aus?

Die Gleichung wird in verschiedenen Formen dargestellt.

Es handelt sich weniger um eine einzelne Gleichung.

Die Schrödingergleichung ist eher eine Bedingung für verschiedene Gleichungen.

Mit ihr kann man spezielle Gleichungen für spezielle Betrachtungen aufstellen:

Ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld

Elektronen in Orbitalen um einen Atomkern

Etc.

Was berechnet man mit der Schrödingergleichung?

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Teilchen:

Mit Hilfe der Gleichung erhält man als Resultat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in einem bestimmten...

Zeitraum in einem bestimmten Raumvolumen anzutreffen ist.

Die Schrödingergleichung verwendet dabei immer eine Wellenfunktion.

Kennt man den Zustand eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt, dann ...

kann man mit der Schrödingergleichung auch zukünftige Zustände berechnen.

Die Teilchen werden gedacht im sogenannten Welle-Teilchen-Dualismus ↗

Was bedeutet Ψ(x,y,z,t)?

Diese Kurzform findet man in verschiedenen Lehrbüchern. Das Ψ ist der griechische Buchstabe Psi. Die Schreibweise ist analog zur Schreibweise f(x). Sie steht für einen Term, der die Variablen x, y, z und t enthält. Setzt man man für Variablen Zahlen ein, erhält man als Ergebnis eine Zahl, die man Ψ nennt. In Bezug zur Schrödingergleichung seht Ψ für eine Wellenfunktion. Aus der Wellenfunktion kann man die Wahrscheinlichkeiten für das Vorhandensein von Teilchen bestimmen. Man unterscheidet zwei Varianten:

Mit Zeitfaktor, großes Psi: Ψ(x,y,z,t)

Ohne Zeitfaktor, kleines Psi: ψ(x,y,z)

Was sind Atomorbitale?

Die Bestimmung von Atomorbitalen sind ein beispielhaftes Ergebnis der Anwendung der Schrödingergleichung. Für beliebige Punkte um einen Atomkern kann man eine Zahl angeben, die sagt: wie wahrscheinlich ist es, in einem kleinen Raumelement um diesen Punkt in einer kurzen Zeit ein Elektron anzutreffen. Mehr dazu unter dem Stichwort Orbitalmodell ↗

Die Realität der Schrödinger-Welle

Als Erwin Schrödinger seine Gleichung in der zweiten Hälfte der 1920er Jahre vorstellte entstand daraus sofort eine Debatte, ob die zugrunde gelegten Wellen ein bloßes Gedankenmodell sind oder ob sie real existieren. Schrödinger ging im Jahr 1926 von einer realen Existenz aus^[3], während zum Beispiel Niels Bohr schon 1928 darauf Hinweis, dass Schrödingers Modell unter anderem eine Ausbreitung von Kräften mit einer Geschwindigkeit schneller als Licht ausging^[4]. Mehr zur realen Existenz der gedachten Wellen steht im Artikel zur Schrödinger-Welle ↗

Woraus folgt die Schrödingergleichung?

Nach jetzigem Stand der Kenntnis ist die Schrödingergleichung fundamental. Sie lässt sich aus keiner anderen Theorie herleiten oder deduzieren.

ZITAT:

"Sie (die Schrödingergleichung) lässt sich nicht aus Bekanntem herleiten, vielmehr wollen wir sie als eine der Grundgleichungen der Quantenmechanik betrachten, deren Gültigkeit durch ihre Fähigkeit erwiesen ist, die richtigen Vorhersagen zu machen."^[18]

Interessant bei diesem Zitat ist der Verweis des Autoren, Prof. Mayer-Kuckuk, dass die Gültigkeit einer Aussage oder Theorie in der Physik letztendlich darauf beruht, mit ihrer Hilfe richtige Vorhersagen machen zu können. Dass die Fähgikeit zum Treffen guter zutreffender Vorhersagen das wichtigste Kriterium der Wahrheit in der Physik ist, betonte zum Beispiel auch (aber nicht alleine) der Physiker Richard Feynman. Siehe mehr zu diesem Gedanken unter Wahrheitskriterium ↗

Fußnoten

[1] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik. Bachelor Edition. ISBN:978-3-527-40746-0: in dem Buch gibt es ein eigenes Kapitel zur Schrödingergleichung, siehe auch Der Halliday ↗

[2] Die Bestandteile der Schrödingergleichung können nicht anschaulich gedeutet werden: "Der symbolische Charakter der SCHRÖDINGERschen Methode erhellt nicht nur daraus, daß ihre Einfachheit, ebenso wie die der Matrixmethode, auf einen wesentlichen Gebrauch von imaginären arithmetischen Größen beruht. Vor allem ist aber schon deshalb keine Rede von einer unmittelbaren Verknüpfung mit unserer gewöhnlichen Anschauung, weil das durch die Wellengleichung dargestellte 'geometrische' Problem an den sog. Koordinatenraum geknüpft ist, deren Dimensionszahl der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems gleich ist und also im allgemeinen von der Dimensionszahl 3 des gewöhnlichen Raums verschieden ist." In: Niels Bohr: Niels Bohr: Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der Atomistik. In: Die Naturwissenschaften. I6. Jahrgang 13. April 1928 Heft 15. Online: http://www.psiquadrat.de/downloads/bohr28_como.pdf

[3] Schrödinger sieht eine reale Entsprechung für die Wellenfunktion: "Diese Umdeutung mag im ersten Augenblick choquieren, nachdem wir bisher oft in so anschaulich konkreter Form von den ,,ψ-Schwingungen" als von etwas ganz Realem gesprochen haben. Etwas greifbar Reales liegt ihnen ja aber auch noch der jetzigen Auffassung zugrunde, nämlich die höchst realen, elektrodynamisch wirksamen Fluktuationen der elektrischen Raumdichte. Die ψ-Funktion soll nicht mehr und nicht weniger sein bzw. leisten, als daß sie gestattet, die Gesamtheit dieser Fluktuationen durch eine einzige partielle Differentialgleichung mathematisch zu beherrschen und zu übersehen." In: Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem. Vierte Mitteilung. Annalen der Physik. Band 81. Nr. 18. 1926. Dort der §7 auf Seite 135.

[4] Kräfte schneller als Licht: "Übrigens unterliegt die Formulierung des Wechselwirkungsproblems durch die SCHRÖDINGERsche Wellengleichung ebenso wie die Matrixformulierung der Quantentheorie der Beschränkung, daß bei dem zngrunde gelegten klassisch-mechanischen Problem abgesehen wird von der nach der Relativitätstheorie geforderten endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kräfte." In: Niels Bohr: Niels Bohr: Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der Atomistik. In: Die Naturwissenschaften. I6. Jahrgang 13. April 1928 Heft 15. Siehe auch Quantenpostulat ↗

[17] Beim Aufstellen des mathematischen Formalismus erhielt Schrödinger unter anderem die Unterstützung des mit ihm befreundeten Mathematikers Hermann Weyl: Schrödinger bedankt sich in einer Fußnote zu Quantisierung als Eigenwertproblem, Teil 1, Annalen der Physik, Band 79, 1926, S. 363, ausdrücklich bei Weyl. Siehe auch Hermann Weyl ↗

[18] Die Schrödingergleichung kann aus keiner tieferen Theorie hergeleitet werden: "Sie (die Schrödingergleichung) lässt sich nicht aus Bekanntem herleiten, vielmehr wollen wir sie als eine der Grundgleichungen der Quantenmechanik betrachten, deren Gültigkeit durch ihre Fähigkeit erwiesen ist, die richtigen Vorhersagen zu machen." In: Theo Mayer-Kuckuk: Atomphysik. Eine Einführung. 2. durchgesehene Auflage. B. G. Teubner. Stuttgart, 1980 (erste Auflage 1977). ISBN: 3-519-13042-4. Dort im Kapitel "2.3 Die Schrödinger-Gleichung", Seite 40.